¿Por qué un polinomio no es una función?

Question

En mis apuntes de clase mi profesor definió un polinomio con coeficientes en un anillo $R$ como:

Si $R$ es un anillo un polinomio con coeficientes en un anillo $R$ es una expresión formal: $$a_o + a_1 x + ... + a_n x^n$$ con $n \in \mathbb N_0$ y $a_i \in R$

También he comprobado la definición dada en algunos libros de álgebra abstracta y todos ellos la definen como una expresión formal. ¿Por qué es así? ¿No basta con decir que un polinomio es una función? $$f:R\to R$$ $$x \mapsto a_0 + a_1x+...+a_nx^n$$

¿Por qué definir un polinomio como una expresión formal?

Answer 1

Porque estas definiciones no son equivalentes. Por ejemplo, consideremos el campo $\mathbb{F_2}$ . Los polinomios $x+1$ y $x^2+1$ son iguales como funciones. Pero no son el mismo polinomio. Y no queremos que sean el mismo polinomio.