Dejemos que $p_i$ sea el $i$ número primo. Para $x \in \Bbb{R}, x \gt 0$ defina:
$$ \Delta(x) =\left \{\prod_{i=1}^r q_i : \{q_1, \dots, q_r \}\subset \{p_1, p_2, \dots, p_{\pi(x)}\}\right\} $$
Dejemos que $\omega$ sea la función omega pequeña de la teoría de los números, y $\pi$ la función de recuento de primas.
Tenemos la siguiente cadena de igualdades:
$$ \pi(x) = \pi(\sqrt{x}) - 1 + \sum_{k=0}^{\pi(\sqrt{x})} (-1)^k \left( \sum_{f \in \Delta(\sqrt{x}) \\ \omega(f) = k} \ \ \sum_{g \in \Delta(\sqrt{x}) \\ f\ \mid\ g} 1 \right) \tag{1} $$
es otra forma de escribir la primera fórmula en "Algoritmos de evaluación $\pi(x)$ " . Y esto a su vez es igual: $$ \pi(x) = \pi(\sqrt{x}) - 1 + \sum_{k=0}^{\pi(\sqrt{x})} (-1)^k \left( \sum_{g \in \Delta(\sqrt{x})} \ \ \sum_{f \in \Delta(\sqrt{x}) \\ f\ \mid\ g \\ \omega(f) = k} 1 \right) \tag{2} $$
que tiene mucho sentido hacerlo. Entonces tenemos:
$$ \pi(x) = \pi(\sqrt{x}) - 1 + \sum_{k = 0}^{\pi(\sqrt{x}) }(-1)^k \left( \sum_{g \in \Delta(\sqrt{x})}{\omega(g) \choose k }\right) \tag{3} $$
Esto se debe a que el rango sobre $f \in \Delta(\sqrt{x})$ tal que $f \mid g$ y $\omega(f) = k$ puede contarse como ${\omega(g) \choose k}$ obviamente. Pero la expresión ${\omega(g)\choose k}$ es independiente de la elección de $g' \in \Delta(\sqrt{x})$ mientras $\omega(g') = \omega(g)$ . Y por lo tanto podemos cambiar la suma a:
$$ \pi(x) = \pi(\sqrt{x}) - 1 + \sum_{k = 0}^{\pi(\sqrt{x})}(-1)^k \left( \sum_{\ell = 0}^{\pi(\sqrt{x})}{\pi(\sqrt{x}) \choose \ell }{\ell \choose k }\right) \tag{4} $$
Y por supuesto la forma canónica de la suma sería entonces:
$$ \pi(x) = \pi(\sqrt{x}) - 1 + \sum_{k = 0}^{\pi(\sqrt{x})} \sum_{\ell = 0}^{\pi(\sqrt{x})}(-1)^k{\pi(\sqrt{x}) \choose \ell }{\ell \choose k } \tag{5} $$
Pregunta. ¿Podemos utilizar el propiedades del coeficiente binomial para reordenar aún más esta suma?
