Cómo probar esta desigualdad $\tan{(\sin{x})}>\sin{(\tan{x})}$

Question

Cómo probar esta desigualdad $$\tan{(\sin{x})}>\sin{(\tan{x})},0<x<\dfrac{\pi}{2}$$

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He puesto esta solución:vamos a

$$f(x)=\tan{(\sin{x})}-\sin{(\tan{x})}$$ entonces tenemos $$f'(x)=s^2{(\sin{x})}\cos{x}-\cos{(\bronceado{x})}\s^2{x}=\dfrac{\cos^3{x}- \cos{(\bronceado{x})}\cos^2{(\sin{x})}}{\cos^2{(\sin{x})}\cos^2{x}}$$ caso 1:$0<x<\arctan{\dfrac{\pi}{2}}$, luego tenemos $$0<\tan{x}<\dfrac{\pi}{2},0<\sin{x}<\dfrac{\pi}{2}$$ para Usar AM-GM de la desigualdad tenemos $$\sqrt[3]{\cos{(\tan{x})}\cos^2{(\sin{x})}}\le\dfrac{1}{3}[\cos{(\tan{x})}+2\cos{(\sin{x})}]\le\cos{\dfrac{\tan{x}+2\sin{x}}{3}}$$ uso $$\tan{x}+2\sin{x}>3x$$ así $$f'(x)>0\Longrightarrow f(x)>0$$ case2: $\arctan{\dfrac{\pi}{2}}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$, por lo que $$\sin{(\arctan{\dfrac{\pi}{2}})}<\sin{x}<1$$ desde $$\sin{(\arctan{\dfrac{\pi}{2}})}=\dfrac{\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}>\dfrac{\pi}{4}$$ $$\Longrightarrow \dfrac{\pi}{4}<\sin{x}<1$$,por lo que $$1<\tan{(\sin{x})}<\tan{1},$$,por lo que $$f(x)>0$$

Creo que esta desigualdad tiene otros métodos simples.Gracias

Se dice puede utilizar integral de la desigualdad,Pero no puedo

De hecho,hemos $$\tan{(\sin{x})}-\sin{(\tan{x})}=\dfrac{1}{30}x^7+o(x^7),x\to 0$$ puede ver:¿Cómo encontrar este límite $\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin{(\tan{x})}-\tan{(\sin{x})}}{x^7}$

Answer 1

Creo que tengo una muy buena prueba. Tener en cuenta que: $$\tan(\sin x)=\int_{0}^{\sin x}\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_{0}^{\sin x}\frac{d\theta}{1-\sin^2\theta}=\int_{0}^{x}\frac{\cos\psi\,d\psi}{\cos^2(\sin\psi)},$$ mientras que: $$\sin(\tan x)=\int_{0}^{\tan x}\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{x}\frac{\cos(\tan\psi)\,d\psi}{\cos^2\psi}.$$ Ya que para cualquier $x>1$ tenemos: $$\tan(\sin x)>\tan(\sin 1)>\frac{19}{17},\qquad \sin(\tan x)\leq 1,$$ sólo tenemos que probar que para cualquier $\theta\in[0,1]$ $$\cos^3\theta \geq \cos(\tan\theta)\cos^2(\sin\theta)\tag{1}$$ se mantiene, o, por cualquier $u\in[0,\tan 1]$: $$\frac{1}{(1+u^2)^{3/2}}\geq \cos(u)\cos^2\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right).\tag{2}$$ Desde $\log\cos x$ es una concavidad de la función en dicho intervalo, sólo tenemos que probar: $$\forall u\in[0,\tan 1],\qquad (1+u^2)\cdot\cos^2\left(\frac{1}{3}\left(u+\frac{2u}{\sqrt{1+u^2}}\right)\right)\leq 1,$$ o: $$\forall \theta\in[0,1],\qquad \cos^2\left(\frac{\tan\theta+2\sin\theta}{3}\right)\leq \cos^2\theta,$$ $$ \forall \theta\in[0,1],\qquad \tan\theta + 2\sin\theta \geq 3\theta.\tag{3}$$ La última desigualdad se cumple para asegurarse dado que, por la AM-GM de la desigualdad, $$\frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}\left(\frac{1}{\cos^2 u}+2\cos u\right)\,du\geq 3.$$