Noción de masa de una teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo AdS

Question

Consideremos una teoría de campos escalares en $AdS_{d+1}$ espacio-tiempo

\begin{equation} S= -\frac{1}{2}\int d^{d+1} x \sqrt{-g} (\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi g^{\nu \mu} + m^2 \phi^2 ) \end{equation}

Al cuantificar esta teoría en una métrica AdS, se encuentra que la solución puede escribirse como

\begin{equation} f_{\omega l \vec{m}} (r,t,\Omega) = \psi_{\omega l}(r) e^{-i \omega t} Y_{l \vec{m}}(\Omega) \end{equation}

donde $\psi_{\omega l}(r)$ resultan ser funciones hipergeométricas. El resultado clave aquí es que $\omega$ se cuantifica de la siguiente manera

\begin{equation} \omega = \omega_{n l} = \Delta (=\frac{d}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{d^2 + 4m^2}) + l + 2n \end{equation}

¿Y esta cuantización implica de alguna manera que la masa no está bien definida en la teoría? No entiendo muy bien cómo se deduce esto sólo del hecho de que la $\omega$ ¿se cuantifica?

Answer 1

No sé mucho sobre $AdS/CFT$ pero, por lo que he podido entender, definir la masa de una partícula escalar en espaciotiempo homogéneo de curvatura no nula debería ser problemática.

En general, para un $AdS$ espaciotiempo, el grupo de isometría es el grupo conforme $$O(2,n).$$

Entonces, uno espera que la "masa" deba corresponder al elemento cuadrático de Casimir de su álgebra envolvente universal. Sin embargo, personalmente encuentro que esto podría ser ambiguo por la siguiente razón.

En primer lugar, el grupo de isometría $O(2,n)$ para $AdS$ El espaciotiempo es también un grupo conforme. En tal teoría, la definición de la masa sería problemática porque no es un concepto invariante bajo la escala. En segundo lugar, consideremos la densidad lagrangiana $$\mathcal{L}=\frac{\sqrt{|\det g|}}{2}\left[g^{\mu\nu}(\partial_{\mu}\phi)(\partial_{\nu}\phi)-(m^{2}+\lambda R)\phi^{2}\right],$$

se encuentra que, dado que la curvatura escalar de Ricci $R$ para $AdS$ el espaciotiempo es una constante, el término de masa es ambiguo debido a su acoplamiento con la curvatura.