Si $u\in W^{1,p}(\Omega )$ es s.t. $\nabla u=0$ entonces $u$ es constante a.e.

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb R^d$ un dominio conectado. Si $u\in W^{1,p}(\Omega )$ es s.t. $\nabla u=0$ demostrar que $u$ es constante a.e.

Prueba de mi curso

Dejemos que $x\in \mathbb R^d$ y $\varepsilon>0$ lo suficientemente pequeño. Extienda $u$ por $0$ en $\mathbb R^d\backslash \Omega $ . Sea $(\varphi_n)$ una secuencia de mollera estándar. Para $n$ lo suficientemente grande $$\nabla (\varphi_n* u)=\varphi_n*\nabla u=0$$ a.e. en $B(x,\varepsilon)$ . En particular $\varphi_n*u=c_n$ a.e. en $B(x,\varepsilon)$ para alguna secuencia $(c_n)$ .

Dejar $n\to \infty $ se deduce que $u=c$ a.e. en $B(x,\varepsilon)$ para alguna constante $c$ . Desde $\Omega $ está conectada, la conclusión es la siguiente.

Preguntas

Realmente no entiendo esta prueba. Mi pregunta es la siguiente :

1) ¿Por qué tenemos que ampliar $u$ por $0$ en $\mathbb R^d\subset \Omega $ desde $\Omega $ está abierto y $\varepsilon>0$ lo suficientemente pequeño como para tener $B(x,\varepsilon)\subset \Omega $ .

2) ¿Por qué para $n$ lo suficientemente grande $\varphi_n*\nabla u=0$ . ¿No tenemos $\partial _n*\nabla u$ siempre (ya que $\nabla u=0$ a.e.)

Answer 1

Estoy de acuerdo, no es necesario ampliar $u$ a cero. Arreglar $x \in \Omega$ y luego elegir $\epsilon > 0$ tal que $\overline{B(x,\epsilon)} \subseteq \Omega$ . Sea $d = \text{dist}(\partial \Omega, \overline{B}(x,\epsilon))$ . Elige un $N \in \mathbb{N}$ tal que $\text{sppt}(\varphi_{n}) \subseteq B(0,d)$ si $n \geq N$ . Ahora $\varphi_{n} * u$ está bien definida en $B(x,\epsilon)$ y $\nabla(\varphi_{n} * u) = \varphi_{n} * \nabla u = 0$ . Así, $\varphi_{n} * u = c_{n}$ sur $B(x,\epsilon)$ y así sucesivamente.