Este es el resultado de trazar la ruta en línea recta desde un punto de EE.UU. hasta Polonia utilizando Herramienta de medición de la distancia .
Además, los aviones de Asia a Estados Unidos viajarían casi sobre el Polo Norte.
¿Por qué el camino es tan curvo? Estoy de acuerdo en que se trata de una representación plana de una esfera, por lo que espero algún arco, pero no creo que la Tierra tenga tanta curvatura.
¿Qué me estoy perdiendo aquí?
Sólo hay que ver la trayectoria de la esfera. Aquí está en Google Earth:
El camino en su El mapa está muy curvado porque su mapa utiliza una proyección con mucha distorsión. (La distorsión crece sin límites hacia los polos y esta trayectoria se acerca al polo norte).
La distorsión es necesaria para explicar la curvatura de esta geodésica en el mapa, pero la conexión entre ellas es sutil. Se pueden decir más cosas que son a la vez útiles, informativas y elegantes. Vea si está de acuerdo.
El mapa de la OP utiliza una proyección Mercator. Sus cualidades más destacadas son que es
Cilíndrico En particular, los meridianos son líneas verticales en el mapa,
Conforme Cualquier ángulo en el que se crucen dos caminos en la tierra se representará correctamente en el mapa, y
Loxodrómico : cualquier ruta de rumbo constante (en la tierra) se representa como un segmento de línea recta en el mapa.
Estas propiedades facilitan la lectura de cierta información crítica directamente en el mapa. En este contexto, lo que más me interesa es los ángulos que forma cualquier trayectoria con cada uno de los meridianos que atraviesa. (Estos son los rodamientos medido desde el norte). Por ejemplo, el camino representado en la pregunta comienza en Canadá, alrededor de los 54 grados de latitud, formando un ángulo de unos 30 grados con su meridiano.
Lo que también hay que saber sobre un punto a 54 grados de latitud es que está más cerca del eje de la Tierra que los puntos a lo largo del ecuador. De hecho, está a cos(54) * R del eje, donde R es el radio de la Tierra. (Esto es esencialmente el definición del coseno. Ayuda a tener cierta familiaridad con los cosenos, para que entiendas cómo se comportan, pero en realidad no necesitas saber nada más de trigonometría. Lo prometo. Bueno, una cosa más: el sine de un ángulo es el coseno de su complemento. Por ejemplo, sen(32 grados) = cos(90-32) = cos(58).
Por último, hay que tener en cuenta que la Tierra es rotativamente simétrica respecto a su eje. Esto nos permite invocar la hermosa frase de Clairaut
Teorema (1743): En una trayectoria en cualquier superficie lisa de revolución, el producto de las distancia al eje con el seno del rodamiento es constante si y sólo si la trayectoria es localmente geodésica.
Por lo tanto, dado que partimos de una latitud de 54 grados con un ángulo de 30 grados, el producto del teorema es igual a cos(54) * R * sin(30) = 0,294 * R.
¿Cómo ayuda esto? Bien, considera lo que pasaría si el camino continuara aproximadamente recto en el mapa . Tarde o temprano se elevaría a una latitud de 73 grados. Usando el teorema de Clairaut podemos resolver el rumbo en esta latitud:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Esto dice que al llegar a una latitud de 73 grados, debemos estar viajando hacia el este ¡! Es decir, la trayectoria, para ser una geodésica, debe curva tan fuerte que el rumbo inicial de 30 grados (al este del norte) se convierte en 90 grados (al este del norte).
(Por supuesto, he encontrado el valor de 73 grados resolviendo la ecuación cos(latitud) = cos(latitud) * sin(90) = cos(54) * sin(60). Para hacer esto tú mismo tendrías que saber que (a) sin(90) = 1 (porque sin(90) = cos(90-90) = cos(0) = 1) y (b) la mayoría de las calculadoras y hojas de cálculo tienen una función para resolver cosenos; se llama ArcCos o coseno inverso. Espero que no veas este pequeño detalle como una ruptura de mi promesa anterior sobre no más trigonometría...)
Después de hacer unos cuantos cálculos como éste, se desarrolla una intuición de lo que dice el Teorema de Clairaut. Una trayectoria en una superficie de revolución (como la Tierra) puede ser geodésica (localmente la más corta o "recta") sólo cuando (a) su rumbo se hace más paralelo a los meridianos en los puntos alejados del eje y (b) su rumbo se hace más perpendicular a los meridianos en los puntos más cercanos al eje. Dado que existe un límite en cuanto a la perpendicularidad que se puede alcanzar -¡90 grados! - hay un límite en cuanto a la cercanía al eje. Este ajuste constante del rumbo (= ángulo con el meridiano) y la latitud (= distancia al eje) provoca la aparente curvatura de las geodésicas en la mayoría de los mapas, especialmente en las que utilizan proyecciones cilíndricas, donde los meridianos y las líneas de latitud se representan como líneas verticales y horizontales, respectivamente.
He aquí algunas implicaciones fáciles del Teorema de Clairaut. Comprueba si puedes demostrarlas todas:
El ecuador debe ser una geodésica.
Todos los meridianos son geodésicos.
Ninguna línea de latitud, salvo el ecuador (y los polos, si se quieren incluir), puede ser una geodésica. Ni siquiera una pequeña parte de una línea de latitud puede ser geodésica.
Los loxodrómicos (también conocidos como líneas de rumbo), que son líneas de rumbo constante, no pueden ser geodésicos a menos que sean meridianos o el ecuador. Ni siquiera una pequeña parte de dicho loxódromo puede ser geodésico. En otras palabras, si navegas o vuelas en una dirección de brújula fija, entonces -salvo algunas excepciones obvias- tu trayectoria es constantemente ¡curvando!
El punto 4 dice que si vuelas desde las Rocosas canadienses con un rumbo inicial de 30 grados al este del norte, debes parecer, en relación con el norte, que estás girando constantemente (hacia la derecha) para poder volar recto; nunca irás al norte de los 73 grados de latitud; y si continúas lo suficiente, llegarás a Polonia y te dirigirás aproximadamente a 150 grados al este del norte cuando llegues allí. Por supuesto, los detalles -73 grados y Polonia y 150 grados- se obtienen sólo de la cuantitativo declaración del Teorema de Clairaut: por lo general, no se puede averiguar ese tipo de cosas sólo con la idea intuitiva de la geodésica.
Cabe destacar que todos estos resultados se mantienen en una esferoide (una superficie de revolución generada por una elipse), no sólo en esferas perfectas. Con ligeras modificaciones, son válidas para las tori (superficies de bagels o neumáticos de camión) y muchas otras superficies interesantes. (El autor de ciencia ficción Larry Niven escribió un novela en el que aparece un pequeño mundo artificial con forma de toro. El enlace incluye una imagen de la portada de la novela que muestra parte de este mundo).
En esta proyección (Google Mercator), eso es lo que el arco del gran círculo entre esos dos lugares parece.
La proyección Mercator distorsiona en los polos http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
más información Indicatrix de Tissot
Así que la inclinación es más aguda en los últimos polos
He visto una explicación muy elegante de este fenómeno en el blog de Tom MacWright aquí con fotos de naranjas. La versión para explicar a un niño de 5 años: "En un globo terráqueo, los caminos más cortos son planos y las líneas de navegación son curvas. Mercator hizo un mapa en el que las líneas de navegación son rectas. Esto hizo que los caminos más cortos fueran curvos".
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