La dimensión cohomológica de un real nn -manifold MM es nn Esto significa que Hi(M,F)=0 para cada gavilla F de grupos abelianos en M si i>n y que existen las láminas F en M con Hn(M,F)≠0 . Encontrará esta prueba en el libro de Bredon sobre Teoría de la gavilla , §II.16.
Se deduce que la dimensión cohomológica de un complejo n -manifold es 2n . Por ejemplo, se alcanza el máximo, al menos para los compactos, para la gavilla constante R .
La respuesta a tu pregunta "¿Significa esto que incluso la k'ª cohomología singular de X desaparece para k > n?" es No (Se puede responder sin determinar la dimensión cohomológica: basta con considerar un complejo compacto n -manifold, que se orienta automáticamente: ¿qué es 2n -grupo de cohomología?)
La pregunta de tu párrafo [Editado] también tiene una respuesta negativa. Considera los ejemplos para ver que es así.