La dimensión cohomológica de un real $n$ -manifold $M$ es $n$ Esto significa que $H^i(M,\mathscr F)=0$ para cada gavilla $\mathscr F$ de grupos abelianos en $M$ si $i>n$ y que existen las láminas $\mathcal F$ en $M$ con $H^n(M,\mathscr F)\neq0$ . Encontrará esta prueba en el libro de Bredon sobre Teoría de la gavilla , §II.16.
Se deduce que la dimensión cohomológica de un complejo $n$ -manifold es $2n$ . Por ejemplo, se alcanza el máximo, al menos para los compactos, para la gavilla constante $\mathbb R$ .
La respuesta a tu pregunta "¿Significa esto que incluso la k'ª cohomología singular de X desaparece para k > n?" es No (Se puede responder sin determinar la dimensión cohomológica: basta con considerar un complejo compacto $n$ -manifold, que se orienta automáticamente: ¿qué es $2n$ -grupo de cohomología?)
La pregunta de tu párrafo [Editado] también tiene una respuesta negativa. Considera los ejemplos para ver que es así.