El hecho de que haya $\dfrac{p+1}{2}$ Los residuos cuadráticos me parece que ayudan a resolver la cuestión, pero no sé cómo seguir a partir de ese punto. ¿Podríais darme alguna pista?
Respuesta
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Se trata del problema 7 de la sección 4.5, "Teoría combinatoria de los números", de I. Niven, H. S. Zuckerman, H. L. Montgomery, Introducción a la teoría de los números, 5ª ed., Wiley (Nueva York), 1991. Asumiré que usted está familiarizado con el material del libro que precede a ese problema, a saber,
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Para todos $a$ tal que $(a, p) = 1$ , $a$ se llama residuo cuadrático modulo $p$ si la congruencia $x^2 \equiv a \pmod p$ tiene una solución. Si no tiene solución, entonces $a$ se llama nonresiduo cuadrático modulo $p$ .
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Para un impar prime $p$ entre los $p$ enteros módulo $p$ Hay $(p - 1)/2$ residuos cuadráticos, $(p - 1)/2$ no-residuos cuadráticos; el número entero restante es $0 \pmod p$ que hace que la congruencia sea resoluble, pero no se llama residuo cuadrático porque $(0, p) = p \not\equiv 1 \pmod p$ .
Intente resolver el problema usted mismo leyendo lo suficiente de esta respuesta para empezar. Quizás los dos puntos anteriores sean suficientes.
En lo que sigue, asumimos congruencias y $a, b, c, x, y$ para ser modulo $p$ .
Si $c \equiv 0$ entonces $(x, y) = (0, 0)$ es una solución. Por lo tanto, asuma $c \not\equiv 0$ para el resto de esta respuesta.
Si $p = 2$ entonces $a$ , $b$ y $c$ son congruentes con $1$ y $(x, y) = (0, 1)$ es una solución. Por lo tanto, asuma $p$ es impar para el resto de esta respuesta.
Reescribe la congruencia como $x^2 \equiv \bar{a}c - \bar{a}by^2$ donde $\bar{a}a \equiv 1$ . Si $\bar{a}c$ es un residuo cuadrático, entonces ponga $y = 0$ para que $x^2 \equiv \bar{a}c$ tiene una solución.
Si $\bar{a}c$ es un no-residuo cuadrático, entonces dejemos que $y$ pasar por el $p - 1$ enteros no nulos módulo $p$ para que $y^2$ recorre el $(p - 1)/2$ residuos cuadráticos, y, a su vez, $\bar{a}c - \bar{a}by^2$ asume $(p - 1)/2$ valores distintos. Porque $\bar{a}by^2 \not\equiv 0$ , $\bar{a}c - \bar{a}by^2$ no es congruente con el no-residuo cuadrático $\bar{a}c$ Así pues, el $(p - 1)/2$ valores de $\bar{a}c - \bar{a}by^2$ puede asumir como máximo $(p - 1)/2 - 1$ no-residuos cuadráticos; por lo tanto, al menos un valor de $\bar{a}c - \bar{a}by^2$ debe ser congruente con un residuo cuadrático o $0$ , lo que hace que la congruencia se pueda resolver.
Así, para todos los casos, $ax^2 + by^2 \equiv c$ es solucionable.
