"Considere el politopo en $\mathbb{R}^4$ generado tomando el casco convexo de los puntos $(\pm 1,0,0,0),(0,\pm 1,0,0),(0,0,\pm 1,0),$ y $(0,0,0,\pm 1)$ . Describe todas sus caras. ¿Cuántas hay en total?"
Mi problema es simplemente que no veo cómo se puede hacer esto (contar el número de caras en 4-D) ya que no sé cómo se conectan los vértices. Por ejemplo, ¿se conecta un vértice con $3$ otros vértices, etc.
Sólo busco una pista aquí.
Una pista: Técnicamente, el politopo es una de sus propias "caras"; me referiré al resto de las caras como caras "propias".
Cada cara propia corresponde a un conjunto $S$ de vértices. Obsérvese que si el casco convexo de $S$ interseca el interior del politopo, entonces $S$ no se encuentra dentro de una cara. Obsérvese que si el subespacio afín "abarcado" por un subconjunto es el mismo para los conjuntos $S_1,S_2$ entonces estos subconjuntos corresponden a la misma cara.
Dicho esto: considera los pares de vértices. A continuación, considere subconjuntos de $3$ vértices no colineales. A continuación, consideremos subconjuntos de $4$ vértices no coplanares. Entre estos conjuntos, ¿cuáles tienen un casco convexo que interseca el interior? ¿Qué conjuntos corresponden a la misma cara?
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