Conjunto generador de los números reales bajo adición

Question

¿Cómo se puede generar $(R,+)$ ? Si se toma un intervalo arbitrariamente pequeño, ¿funcionaría esto? ¿Cómo se puede demostrar que esto es así?

Answer 1

Supongamos que $A = (-\varepsilon, \varepsilon)$ es un intervalo no vacío en cero. Demostraremos que este intervalo genera todo $\mathbb R$ . Para cualquier $x \in \mathbb R$ la secuencia $x/n$ tiende a cero (Obsérvese que este hecho es equivalente a la propiedad arquimédica). Por lo tanto, algunos $x/n$ es igual a un elemento, digamos $a \in A$ . Entonces tenemos $na = a + a + \ldots a = x$ se genera mediante elementos de intervalo, según sea necesario.

Supongamos ahora que $B = (b-\varepsilon, b+\varepsilon)$ es cualquier intervalo no vacío. Sea $G$ sea el grupo generado por $B$ . Desde $b \in B$ sabemos $b'-b \in G$ para cada $b' \in B$ . Así que $G$ contiene el intervalo $B-b = (-\varepsilon, \varepsilon)$ . Entonces $G$ contiene todos los elementos generados por $(-\varepsilon, \varepsilon)$ que ya hemos demostrado que es todo $\mathbb R$ .

$\square$