Estoy impartiendo un breve curso de verano sobre grupos algebraicos y es el momento de hablar de la forma Killing en el álgebra de Lie. Los alumnos son todos estudiantes de grado con distintos niveles de inexperiencia, y yo intento que todo parezca tener un sentido (volviendo a los objetivos básicos de "qué es un grupo algebraico" y "qué tiene que ver esto con la teoría de representaciones"). Me cuesta justificar la forma de Killing desde algo parecido a los primeros principios: es útil, y puedo demostrar teoremas que explican por qué es útil, pero no se me ocurre una explicación de por qué es razonable inventarla. La respuesta ideal a esta pregunta será una explicación "ingenua". Otras respuestas interesantes (que apreciaría para mí) pueden ser más sofisticadas.
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El libro de Thomas Hawkins "Emergence of the Theory of Lie Groups" puede ser un lugar interesante para buscar explicaciones de primeros principios de los hechos de la teoría de Lie. Explica cómo Killing, Cartan y Weyl dieron con la teoría de la estructura de las álgebras de Lie semisimples. (Véase la sección 6.2, en particular, para una discusión detallada de las contribuciones de Cartan a la teoría de la estructura al estilo de Killing, incluyendo su introducción y uso de la forma de Killing).
Según Hawkins, una de las ideas de Killing en su teoría de la estructura para un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ fue considerar el polinomio característico $$ {\rm det} (t I - {\rm ad}(X)) = t^n -\psi_1(X)t^{n-1} + \psi_2(X)t^{n-2} + \cdots + (-1)^n\psi_n(X) $$ en función de $X$ . (El inicio de la teoría de la estructura fue considerar aquellos $X$ ---elementos regulares--- tal que el valor propio $0$ tiene una multiplicidad mínima). En general, los coeficientes $\psi_i(X)$ son funciones polinómicas sobre $\mathfrak{g}$ que son invariantes para la acción adjunta de $\mathfrak{g}$ en sí mismo.
Consideremos, en particular, un álgebra de Lie simple $\mathfrak{g}$ . Killing observó que el coeficiente $\psi_1(X)$ que es una función lineal sobre $\mathfrak{g}$ debe desaparecer idénticamente, ya que su núcleo es un ideal. Cartan consideró el coeficiente $\psi_2(X)$ que es una forma cuadrática en $X$ . (El valor $\psi_2(X)$ es esencialmente la suma de los cuadrados de los valores propios--raíces--de $X$ ya que $\psi_1(X)=0$ .) La forma bilineal asociada a esta forma cuadrática es la forma de Killing habitual. La invariancia de $\psi_2$ bajo la acción del adjunto se traduce en la propiedad de "asociatividad" de la forma de Killing. Cartan observó (en esencia) que para $\mathfrak{g}$ simple, el núcleo de la forma bilineal asociada es $0$ o $\mathfrak{g}$ (por invariancia + simplicidad), y consiguió demostrar que el núcleo es siempre $0$ iniciando su reparación de los fallos de la teoría de la estructura de Killing. Se puede consultar el libro de Hawkins para conocer los detalles de la historia, despojada de las eficiencias modernas.
Es tentador pensar que la teoría de la estructura más simple de las álgebras asociativas de dimensión finita (donde la no degeneración de la forma de traza también caracteriza la semisimplicidad) puede haber inspirado a Cartan. Parece (de nuevo según Hawkins) que Molien introdujo esta forma para las álgebras asociativas (como una forma bilineal -en contraposición a la forma cuadrática de Cartan-) de forma independiente en el mismo año (1893) en que Cartan publicó su tesis.
Hola Ryan,
Supongo, dada tu descripción de los alumnos, que conocen bastante bien los grupos finitos y han visto el idempotente medio $e=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g$ y cómo se puede utilizar para construir un producto interno invariante en cualquier representación de un grupo finito. Tal vez puedas convencerles de que los grupos compactos admiten el mismo tipo de idempotentes promediados a través de la integral, y así tal vez puedas construir el producto interior invariante sobre representaciones de dimensión finita de un grupo compacto en analogía más o menos directa con los grupos finitos. Entonces se pueden derivar las propiedades que debe satisfacer la forma de Killing en el álgebra de Lie estableciendo g=e^tX, y tomando derivadas de los axiomas del producto interior del grupo?
Esta es la conexión más cercana que se me ocurre con la teoría de grupos finitos, que espero que sea bien entendida por, o al menos conocida por, sus estudiantes.
¿Qué te parece? -david
Para mí, la propiedad importante de la forma de matar es su naturalidad con respecto a los ideales (un hecho esclarecedor que hay que demostrar). Entonces, de repente, su conexión con la semisimplicidad se vuelve bastante clara: ¿podría haber un ideal abeliano? Pues tendría que estar en el radical de la forma de Killing.
Siempre he pensado que la forma de Killing es la forma natural de introducir un producto interno invariante (que no sea trivial) en un álgebra de Lie, por lo que son las herramientas ideales para demostrar teoremas en el caso semisimple. De hecho, la forma de traza es una forma bilineal invariante razonable sobre $\mathfrak{gl}_n$ y el mapa adjunto es la primera elección de un mapa de un álgebra de Lie a $\mathfrak{gl}_n$ que uno podría pensar.
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