La sección "Historia" del artículo de Wikipedia sobre ZFC no es especialmente útil. Lo único que he entendido de ella es que la ZFC apareció después de 1922. ¿En qué libro o documento se formuló y propuso explícitamente por primera vez la ZFC?
Respuestas
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Dado que mis comentarios en la sección de comentarios se estaban haciendo un poco grandes, he decidido ampliar el tema de la lógica de primer orden en una respuesta propia. Pero antes, permítanme hacer una advertencia, debida a un artículo de Gregory Moore ("Historiadores y filósofos de la lógica: ¿son compatibles?"): parece que establecer afirmaciones de prioridad en casos como éste es extremadamente difícil, y no demasiado relevante. Tal vez una tarea más interesante se encuentre en el establecimiento de la relación entre las ideas de los numerosos autores de la época, y cómo contribuyeron conjuntamente a lo que hoy conocemos como ZFC.
Ahora bien, a partir de una lectura de los trabajos de Moore y Ferreirós al respecto, el panorama parece ser el siguiente: Zermelo propuso inicialmente su sistema de axiomas, en una forma de segundo orden. Más tarde, Fraenkel propuso, más bien a medias, la adopción del Reemplazo como axioma; sin embargo, su primer defensor real con una audiencia fue von Neumann, quien también propuso la Fundación. Independientemente, Mirimanoff también estudió la parte fundamentada del sistema de Zermelo, así como su propia versión del Reemplazo, aunque su trabajo pasó bastante desapercibido. Al mismo tiempo, Skolem sugirió el uso de la lógica de primer orden como forma de dar sentido a las "propiedades definidas" de Zermelo, y también pareció emplear una forma de aritmética recursiva primitiva como su metateoría.
La cuestión de quién propuso la lógica de primer orden como la lógica adecuada para axiomatizar la teoría de conjuntos es un poco confusa, en gran parte debido al punto, discutido anteriormente, de que no había una separación clara entre la lógica de primer orden y la lógica de orden superior en ese momento (las dos primeras décadas del siglo XX). En particular, parece que los primeros en aislar claramente la parte de primer orden de la lógica como digna de un estudio independiente fueron Weyl (en gran parte debido a su preocupación por los sistemas predicativos), en algún momento de la década de 1910, y Hilbert, en sus conferencias sobre lógica de 1917. Sin embargo, incluso entonces no se percibía claramente la importancia de los sistemas de primer orden, por lo que cuando Skolem propuso formalizar la teoría de conjuntos como una teoría de primer orden, su propuesta fue recibida con escepticismo.
Curiosamente, parece que los trabajos de von Neumann en los años 20 eran un poco ambiguos en este sentido. Ferreirós ( Laberintos del pensamiento , p. 373) escribe: "Sus sistemas de los años 20 (...) parecen tener la intención de ser de primer orden, y ciertamente son formalizables dentro de ese marco. Si esa era su intención, von Neumann fue el primer matemático en aceptar los puntos de vista de Skolem (y de Weyl)". De ser cierto, el artículo de von Neumann de 1928 ("Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Megenlehre", que se reimprime en el primer volumen de sus Obras Completas), que contiene lo que es, según Ebbinghaus, la primera referencia impresa al sistema de axiomas de "Zermelo-Frankel", sería un buen candidato para la primera presentación de orden de ZFC. En cualquier caso, parece que, en la década de 1920, esta cuestión concreta aún no estaba decidida. Sólo después de que Gödel demostrara sus teoremas de completitud e incompletitud (es decir, a principios de la década de 1930), la lógica de primer orden comenzó a ocupar un lugar destacado entre los demás sistemas lógicos, lo que creó un entorno más hospitalario para la propuesta de Skolem.
De hecho, en el primero de una serie de artículos, Paul Bernays, al introducir lo que se conocería como la teoría NBG, ya destaca que la adopción de una presentación de primer orden "simplifica considerablemente" el sistema resultante. Así que en 1937 (fecha de publicación de "A System of Axiomatic Set Theory - Part I" de Bernays), la posición de Skolem estaba mucho más extendida. Si tuviera que apostar, diría que la primera lista que contiene explícitamente todos los axiomas de ZFC en un entorno de primer orden probablemente apareció durante esta época (quizás en algún libro de texto). Otra posibilidad es el artículo de Skolem de 1929, "Über einige Grundlagenfragen der Mathematik", que parece ser más detallado que las exposiciones anteriores, pero que aún no he tenido la oportunidad de consultar (la biblioteca de mi universidad lo tiene, pero sólo iré el martes).
En fin, eso es lo que he podido recopilar hasta ahora. Si encuentro algo más, actualizaré esta respuesta.
Andreas Blass
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33024
Lo siguiente debería ser un comentario, porque no intenta decir quién fue el primero en escribir los axiomas ZFC y llamarlos ZFC, pero es demasiado largo. Mejor empiezo citando, del apéndice histórico del libro de Peter Freyd "Abelian Categories": "El origen de los conceptos, incluso para un erudito, es muy difícil de rastrear. Para un no erudito como yo, es más fácil. Pero menos preciso". Con ese preámbulo, así es como me parece la historia.
La axiomatización de Zermelo de 1908 difiere de la ZFC en tres aspectos. (1) Utilizaba la vaga noción de "propiedad definida" en el axioma de separación. (2) Carecía del esquema axiomático de sustitución. (3) Carecía del axioma de fundamento (también llamado de regularidad).
En cuanto a (1), ZFC utiliza la definibilidad de primer orden como sustituto de (Zermelo diría "como aproximación a") la definibilidad. Como resultado, la separación no es un axioma único sino un esquema de axiomas. Por lo que sé, este cambio fue propuesto por primera vez por Skolem.
En cuanto a (2), creo que Fraenkel propuso la sustitución como un axioma adicional (esquema), pero Skolem también puede haberlo propuesto de forma independiente. Es la razón de la "F" en "ZFC".
Por último, en cuanto a (3), la situación no me parece muy clara. Tengo entendido que el concepto de conjunto bien fundado fue estudiado por Mirimanoff en (creo) 1917. No sé, sin embargo, si propuso como axioma que todos los conjuntos deben estar bien fundados. Von Neumann sí lo propuso, pero no sé quién más (además de Mirimanoff) podría haberlo hecho antes.
Por cierto, parece que Zermelo aceptó la necesidad de sustitución y fundamentación, pero no le gustó nada la idea de "primer orden" de Skolem. (Mi impresión es que no le gustaba en absoluto Skolem y lo veía como un alborotador que estropeaba su bonito sistema de axiomas). En "Grenzzahlen und Mengenbereiche" (1930), Zermelo basa su axiomatización en lo que ahora llamaríamos una lógica infinita. También utiliza una versión de los axiomas que permite la existencia de átomos (también llamados ureles), y describe lo que a veces se llaman los modelos naturales de la teoría de conjuntos: La jerarquía acumulativa, de cualquier altura inaccesible, sobre cualquier conjunto de átomos. La altura y la cardinalidad del conjunto de átomos son los dos parámetros que determinan el modelo hasta el isomorfismo. Su uso de la lógica infinita le permite (si no recuerdo mal) excluir cualquier otro modelo.
Guest
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109
Aquí hay algunas citas relevantes de Fraenkel, Bar-Hillel, "Foundations of set theory" de Levy:
"La vaga noción de Zermelo de un enunciado definitivo no estaba a la altura del rigor habitual en matemáticas ... En 1921/22, de forma independiente y casi simultánea, se propusieron dos métodos diferentes [por Fraenkel y Skolem] para sustituir en el axioma de subconjuntos la noción vaga de enunciado definido por una noción bien definida, y por tanto mucho más restringida, de enunciado ... El segundo método, propuesto por Skolem y, por ahora, universalmente aceptado por su universalidad y generalidad ... Fue sugerido primero por Fraenkel e independientemente por Skolem".
Una traducción al inglés de "Some remarks on axiomatized set theory" de Skolem aparece en "From Frege to Godel - A source book in mathematical logic" de Heijenoort. El comentario del artículo de Skolem dice (y yo estoy de acuerdo):
"Estas indicaciones no agotan el contenido de un documento rico y claramente redactado, que cuando se publicó no recibió la atención que merecía, aunque anunciaba importantes desarrollos futuros".
DanV
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281
Leyendo la introducción de Kanamori al Handbook of Set Theory, el texto parece apoyar la respuesta de Robert Israel.
En la página 10 dice que von Neumann escribió en su tesis doctoral una axiomatización de la teoría de conjuntos, sin embargo no me queda claro (en este texto, y en otros que he visto mencionados) si la suya fue o no la base de la $\sf NBG$ teoría de conjuntos, en lugar de $\sf ZFC$ sí mismo.
En las páginas 11-12 dice que en 1930 Zermelo publicó una axiomatización que fue $\sf ZFC$ sin Infinito y Elección (por lo que quizás $\sf ZF$ sería mejor aquí). Así que si los incluimos de nuevo en los axiomas, funciona bien. No hay ninguna cita, pero supongo que eso limita los posibles documentos.
El documento al que se refiere Kanamori es el siguiente,
Zermelo, E., Acerca de los números límite y los rangos establecidos , Fundamenta Mathematicae 16 (1930), nº 1, pp. 29--47.
Y, efectivamente, en la segunda página del documento dice "ZF". Kanamori indica, como yo escribí, que los axiomas carecen de elección y de infinito. Sin embargo, en su documento (que comparte similitudes con la introducción del Manual que estaba usando antes)
Akihiro Kanamori , El desarrollo matemático de la teoría de conjuntos desde Cantor hasta Cohen , Buey. Lógica Simbólica 2 (1996), nº 1, 1--71.
Kanamori señala que Zermelo asumió el axioma de elección como parte de la lógica. No me queda del todo claro si esta axiomatización era de primer orden o de segundo orden, quizás alguien que sepa leer alemán mejor que yo pueda ayudar con esta parte.
Una vez que se pasa a la lógica de primer orden, la adición de la elección y el infinito en la lista se hace inevitable, y tenemos los axiomas modernos de $\sf ZFC$ .
Matthew Scouten
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2518
Puedes mirar la Enciclopedia Springer de Matemáticas . Creo que no es tan fácil dar una "fecha de nacimiento" definitiva a algo como ZFC, porque aparecen muchas formas ligeramente diferentes de los axiomas a lo largo de varios años.
