Debe haber un buen curso de introducción al análisis numérico por ahí.

Question

Antecedentes Como analista numérico, he impartido con frecuencia la clase de "Análisis numérico introductorio". Este tipo de cursos se imparten en muchas universidades importantes; el público suele estar formado por estudiantes de ingeniería reticentes y algunos estudiantes de matemáticas.

La estructura del curso es muy similar en muchas de las instituciones cuyos programas he mirado: se empieza con aritmética de precisión finita, luego métodos de punto fijo para la búsqueda de raíces (normalmente problemas 1-D), interpolación por polinomios, cuadratura, diferenciación numérica, algunos métodos estándar de EDO, y quizás algunos métodos de diferencias finitas para EDP. La razón de ser de esta secuencia particular de temas queda oculta en el curso.

Los aspectos verdaderamente profundos e interesantes -la teoría de la aproximación, el análisis de errores, la complejidad computacional- no se discuten o no se profundiza en ellos. En su lugar, el típico curso introductorio es una colección de algoritmos para problemas que parecen artificiosos. Es una lástima. El estudiante de matemáticas más fuerte sale creyendo que el análisis numérico es aburrido y superficial, y el ingeniero sale pensando que las matemáticas no tienen nada que ofrecer a un problema real.

La pregunta: ¿Existen ejemplos (preferiblemente enlaces a esquemas de cursos o páginas web de cursos) de cursos de introducción al análisis numérico que eviten el tedio descrito anteriormente, y que tengan un historial de atraer a estudiantes de matemáticas fuertes?

Las limitaciones: Los cursos deben estar dirigidos a estudiantes con formación en cálculo multivariante, álgebra lineal, sistemas dinámicos de grado y EDP. Un ejemplo por respuesta, por favor.

La motivación: El objetivo final es recopilar dicha lista y, a partir de estos cursos, sugerir un mejor plan de estudios en mi institución.

Answer 1

Creo que nuestro curso de Numérica fue muy interesante. Básicamente teníamos el orden inverso a la estructura de tu ejemplo.

Numéricos (curso de 1 año)

1. Ejemplo motivador, transferencia de calor entre dos puntos. Discretizamos el problema y derivamos una forma de resolverlo (FDM unidimensional). A partir de ahí, pasamos a múltiples dimensiones y a la dependencia del tiempo (FTCS, etc.), introduciendo estimaciones de error por el camino.

2. Como, obviamente, cada problema se reduce a ecuaciones lineales, examinamos algunos de los diferentes algoritmos iterativos (Gradiente, CG, Multigrid...) y, por supuesto, las estimaciones de error y las condiciones de la matriz.

3. A continuación, pasamos a los métodos de interpolación, Splines y compañía, para sustituir nuestro Ansatz lineal de antes.

4. A continuación, analizamos la cuadratura. Incluso sin motivación, teníamos claro que era útil

5. En este punto, pudimos dar pequeños rodeos y mirar brevemente otros campos de la Numérica, por ejemplo, el Método de los Volúmenes Finitos. También echamos un vistazo a cosas que habíamos dejado de lado, como el método de Newton (muchos de los cuales se introdujeron en otras conferencias).

6. Finalizamos el curso con el Método de los Elementos Finitos (ya que se trata de un campo de investigación fundamental en nuestra Universidad), comenzando con Ritz-Galerkin y terminando con las estimaciones de error a-posteriori. (Aunque para ello es necesario tener algunos conocimientos básicos de Análisis Funcional)

Soy el tipo de estudiante que seguirá una conferencia con mucho interés si hay una motivación fuerte/razonable detrás. O al menos una especie de "visión de conjunto".

Tal vez para su gusto, hemos hecho mucho hincapié en las estimaciones de error. Tuvimos muchos ejemplos de la vida real/manos a la obra para resaltar lo importante que es esto. ( http://www.ima.umn.edu/~arnold/desastres/sleipner.html )

Además, tengo que señalar (como se menciona brevemente en el punto 5), que muchas cosas ya se introdujeron en algunas otras clases. Principalmente, nuestras clases de física requerían algo de numérica básica, así que esta no fue una introducción completa a la numérica.

Answer 2

John Hubbard tiende a tomar el camino opuesto, en el sentido de que le gusta introducir una perspectiva más seria de análisis numérico en los cursos 1º y 2º de cálculo y ecuaciones diferenciales, en lugar de asumir que los estudiantes vienen de una secuencia de cursos estándar de cálculo, ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Por lo general, esto incluye una discusión de las diversas formas de representar los números en los ordenadores, como los números de punto flotante, los errores de redondeo, tal vez incluso temas como la aritmética de intervalo.

Por ejemplo, una vez establecida la idea de las ODEs le gusta hablar de "vallas". No sé si es una terminología estándar en alguna parte o sólo la suya, pero es básicamente como una función de Lyapanov pero para las ODEs dependientes del tiempo. Así que te da regiones que atrapan órbitas, pero la región puede moverse con el tiempo. Acostumbra a los estudiantes a pensar de esta manera de forma gradual, preparando primero vallas en el caso de la EDO unidimensional dependiente del tiempo. Luego pasa a cosas como la desigualdad de Gronwall, aplicándola para cosas como las aproximaciones de Euler a las soluciones de la EDO para observar las tasas de crecimiento del error. También demuestra el teorema de Kantorovich, que utiliza para los teoremas de la función implícita e inversa. Tiene bastante éxito en conseguir que los estudiantes de física e ingeniería de primer y segundo año piensen en estas cosas. Pero es conocido como la corriente de cálculo "desafiante" en Cornell, y los estudiantes menos ambiciosos tienen otras opciones. No sé cuáles son sus números ahora, pero cuando yo era un TA para el curso creo que él estaba recibiendo alrededor de 80 estudiantes por año en el curso.

Answer 3

Cuando hice un curso de análisis numérico hace un par de años me gustó mucho el libro " Introducción al análisis numérico " de Suli y Mayers, es muy claro y conciso. En particular, contiene muchas estimaciones de error rigurosas.

Answer 4

Si no lo ha hecho, vaya a la biblioteca y eche un vistazo a este libro: "Análisis Numérico: A Mathematical Introduction", Michelle Schatzman.

Le dará algunas ideas sobre cómo hacer que los estudiantes se enamoren del análisis numérico.

Answer 5

Doy clases dentro del MPhil de Computación Científica de la Universidad de Cambridge. http://www.csc.cam.ac.uk/academic/MPhilSciComp Se ha hecho muy popular, pero las plazas son limitadas. Así que podemos ser muy selectivos con nuestros estudiantes. En marzo de 2016 se publicará un libro de la editorial CRC Press titulado "A Concise Introduction to Numerical Analysis", basado en las clases de análisis numérico del curso.