Expansión de Taylor de la función de Airy

Question

Sabemos que la expansión de Taylor es : $ f(x_0 + h) = f(x_0) + h f'(x_0) + .. \ $

Deseo ampliar la función de Airy sobre su primera raíz, es decir,

$Ai (c_1 - \epsilon ) = Ai (c_1) - \epsilon A_i'(c_1) + ...$ donde $c_1$ es la primera raíz de $Ai(z) = 0 $

Quiero saber si es la expansión correcta para la función de Airy. Si no es así, ¿qué impide expandir la función de Airy de esta manera?

Answer 1

Las funciones de Airy son analíticas en el plano complejo. Se puede formar su serie de Taylor sobre $x=a$ como cualquier otra función. Así que para $x\approx a$ , $$ \text{Ai}(x)=\text{Ai}(a)+ \text{Ai}'(a)(x-a)+\frac{1}{2}\text{Ai}''(a)(x-a)^2 +\frac{1}{6} \text{Ai}'''(a)(x-a)^3+\cdots $$

Por ejemplo, la serie de Taylor para $\text{Ai}(x)$ sobre $x=0$ es $$ \text{Ai}(x)={1\over 3^{2/3}\pi}\sum_{k=0}^\infty {1\over k!}\Gamma\left({k+1\over 3}\right)\sin\left({2\pi (k+1)\over 3}\right)\left(\root 3 \of 3\,z\right)^k. $$