Restricciones sobre una función continua para hacer un espacio métrico y completo

Question

¿Qué condiciones hay que imponer a una función continua definida en $\mathbb{R}$ para que $\rho(x,y) = |f(x)-f(y)|$ sea una métrica y $\mathbb{R}$ para ser un espacio completo.

Para que sea una métrica, necesitamos tener $\rho = 0$ si $x=y$ así que $f$ tiene que ser inyectiva. Creo que el resto de las cosas necesarias para una métrica se cumplen porque tenemos un valor absoluto, pero no estoy 100% seguro de la desigualdad del triángulo.

Para que $\mathbb{R}$ para ser completa, necesitamos que cada secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ converge a un punto en $\mathbb{R}$ . No puedo averiguar cuál es la condición aquí. ¿F siendo limitado tal vez? Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

La desigualdad del triángulo se satisface siempre, ya que $$\rho(x, y) + \rho(y, z) = |f(x) - f(y)| + |f(y) - f(z)| \ge |f(x) - f(z)| = \rho(x, z).$$ Para conseguir la exhaustividad, lo que se necesita es un rango cerrado. Supongamos que el rango de $f$ está cerrado, y $(x_n)$ es Cauchy bajo $\rho$ . Entonces $$0 = \lim_{n, m \to \infty} \rho(x_n, x_m) = \lim_{n, m \to \infty} |f(x_n) - f(x_m)|.$$ De ello se desprende que $(f(x_n))$ es Cauchy bajo la métrica euclidiana, y converge a alguna $y$ . Pero esta es una secuencia en el rango de $f$ que es cerrado, por lo tanto $y = f(x)$ para algunos $x$ . Por lo tanto, es fácil demostrar que $x_n \to x$ en $\rho$ .

Por el contrario, si $\rho$ está completo, y $f(x_n) \to y$ en la métrica euclidiana, entonces $(f(x_n))$ es Cauchy bajo la métrica euclidiana. Así, $(x_n)$ es Cauchy bajo $\rho$ , lo que significa que $x_n \to x$ para algunos $x$ . Por lo tanto, se deduce que $f(x_n) \to f(x)$ por lo que el rango de $f$ está cerrado.