Un conjunto escaso y $\mathrm{MA}$

Question

El axioma de Martin . Sea $\langle\mathbb P,\leq\rangle$ sea un conjunto ccc parcialmente ordenado. Si $\mathcal D$ es una familia de subconjuntos densos de $\mathbb P$ tal que $|\mathcal D|<\mathfrak c$ entonces existe un $\mathcal D$ -Filtro genérico $F$ en $\mathbb P.$ se suele abreviar con $\mathrm{MA}$ . El siguiente teorema es bien conocido.

Teorema: Si $\mathrm{MA}$ tiene entonces una unión de menos de continuos subconjuntos de $\mathbb R$ es escaso en $\mathbb R$ .

Por lo tanto, está claro que cualquier subconjunto de $\mathbb R$ con cardinalidad inferior a $\mathfrak c$ es escaso.

Mi pregunta es si el teorema anterior se puede sostener con una suposición teórica de conjuntos más débil, o si necesitamos toda la $\mathrm{MA}$ ¿para demostrarlo?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Probablemente la forma más sencilla de construir un modelo en el que MA falla pero cada unión de $<\mathfrak c$ conjuntos exiguos es comenzar con un modelo de GCH y adjuntar los reales de Hechler en una iteración de soporte finito de longitud $\aleph_2$ .

Una tabla de hechos de este tipo se encuentra en la sección 11 de mi capítulo del Handbook of Set Theory, cuya preimpresión está disponible en http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/hbk.pdf .

Para obtener mucha más información sobre el AM (y formas más débiles de AM), la referencia estándar es el libro de David Fremlin, "Consequences of Martin's Axiom".