Función exponencial y de Mobius

Question

En el libro de Cohen, está este ejercicio. No se da ninguna pista. Demostrar que (formalmente) $e^x=\prod_{n\ge1}(1-x^n)^{\mu(n)/n}$ donde $\mu$ es la función de Mobius. Cualquier solución será bienvenida. Gracias de antemano

Answer 1

Has olvidado el signo menos. Para $|x| < 1$ donde todo converge absolutamente $$\log \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-\mu(n)/n}= -\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log(1-x^n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{nk}}{k} \\= \sum_{m=1}^\infty x^m \sum_{m= nk} \frac{1}{k} \frac{\mu(n)}{n}=\sum_{m=1}^\infty x^m\frac{1}{m} \sum_{d | m} \mu(d) = \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} 1_{m = 1} = x$$

Donde utilicé la serie de Taylor para $-\log(1-x)$ y la propiedad definitoria de la función de Möbius $\sum_{d | m} \mu(d) = 1_{m=1}$ .