Un functor entre $S \rightarrow S_*$ (de cuasicategorías)

Question

En p.60 del curso corto de Moritz Groth sobre $\infty$ -categoría escribe, Si $C$ es un $\infty$ -añadiendo un punto base disjunto define un functor $$_+:C \rightarrow C_{*/}$$ donde $C_{*/}$ es la categoría de corte sobre $*$ . ¿Cómo se define esto?

Pensamientos: Conozco un morfismo $* : \Delta^0 \rightarrow C$ determina un punto distinto en cada nivel $C_n$ . Por adjunción, definiendo un mapa $C \rightarrow C_*$ es equivalente a un morfismo $$\Delta^0 \star C \rightarrow C $$ El mapa natural parece estar colapsado en cada nivel $n$ todo lo demás que no sea $C_n$ que tomamos como identidad.

Answer 1

En HTT, 7.2.2.1 se define la noción de objetos puntuales. Para la equivalencia con la definición de Moritz Groth, véase HTT, 7.2.2.8. En cuanto a su pregunta, si $C$ tiene coproductos finitos, entonces el functor que quieres es simplemente el cambio de cobase a lo largo de $\emptyset \to \ast$ . Formalmente el functor puede definirse utilizando la teoría de las fibraciones cartesianas y cocartesianas, véase HTT, 6.1.1 para una discusión de la noción dual de cambio de base y aplicarla a $C^{\mathrm{op}}$ para obtener el resultado que busca.