Es $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ continua en $x^*=-1$ ?

Question

Es $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ continua en $x^*=-1$ ?

Para $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ existe $\lim\limits_{x\to -1^-}f(x)=-2$ y $\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)=-2$ pero no es continua en $x=-1$ pero eso sería una contradicción con la definición de continuidad, que establece que para toda función en la que ambos $\lim_{x\to x^{*-}}=\lim_{x\to x^{*+}}$ son iguales entonces la función es continua en el punto $x^*$ . ¿Qué pasa con mis pensamientos? (¿O es que lo recuerdo mal?)

Answer 1

Para que una función sea continua en un punto, primero debe estar definida allí. Como la expresión de su función no está definida cuando $x=-1$ No puede ser continuo allí.

Sin embargo, la función $$ g(x)=\begin{cases} f(x),&x\ne -1\\ -2,& x=-1 \end{cases} $$ es continua (utilizamos la existencia del límite para rellenar el "hueco" en el dominio formando una función continua sobre $\mathbb{R}$ ).

Answer 2

No es cierto que $f$ es discontinuo en $-1$ . Desde $-1$ no pertenece al dominio de $f$ (que supongo que es $\mathbb R\setminus\{-1\}$ ), la función $f$ no es ni continua ni discontinua en ese punto. El concepto de continuidad se define para los puntos del dominio de la función y sólo para esos puntos.

Sin embargo, al afirmar que los límites $\lim_{x\to1^-}f(x)$ y $\lim_{x\to1^+}f(x)$ existen y son iguales equivale a la afirmación de que se puede ampliar $f$ a una función continua de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ .

Answer 3

Su definición de continuidad no es del todo correcta. No se trata simplemente de que los límites izquierdo y derecho sean iguales.

En cambio, es que existe el límite completo (que requiere que los límites izquierdo y derecho sean iguales entre sí) y ese límite tiene que ser igual al valor de la función en ese punto. En este caso, no hay valor de la función en ese punto.