Sé que un isomorfismo entre grupos cíclicos asigna generadores a generadores, pero ¿sigue siendo así si los grupos son no cíclicos?
Muchas gracias.
Respuesta
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Sí. Supongamos que $G$ y $H$ son grupos con $G=\langle a, b, c, \ldots\rangle$ . Entonces cada elemento $g\in G$ tiene la forma $W(a, b, c, \ldots)$ (así es una palabra sobre el alfabeto $a, b, c, \ldots$ ). Si el mapa $\phi: G\rightarrow H$ es un homomorfismo con los generadores de $G$ mapeado de la siguiente manera $$\phi: a\mapsto x, b\mapsto y, c\mapsto z, \ldots$$ entonces tenemos lo siguiente. $$\phi(g)=\phi(W(a, b, c, \ldots))=W(\phi(a), \phi(b), \phi(c), \ldots)=W(x, y, z, \ldots)$$ Por lo tanto, la imagen del elemento $g$ está definida por las imágenes de los generadores.
Su tarea ahora es averiguar dónde está el hecho de que $\phi$ es un homomorfismo fue utilizado. Sin embargo, hay que tener en cuenta que sólo utilizó el hecho de que $\phi$ era un homomorfismo: el resultado es válido para los homomorfismos en general, y no depende de la subjetividad o inyectividad del mapa.
