Necesidad de demostrar que una función es unívoca

Question

¿Puede alguien ayudarme a demostrar que la función $f:\{x\in \mathbb{Q}|x\leq0\}\to\mathbb{Q}$ definido por $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$ es uno a uno (inyectivo)?

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $x,y\in\mathbb{Q}$ tal que $x,y\le0$ y $x\ne y$ . Si $f(x)=f(y)$ entonces

\begin{align} \frac{x^2}{x-2}&=\frac{y^2}{y-2}\\ x^2y-2x^2&=xy^2-2y^2\\ xy(x-y)-2(x-y)(x+y)&=0\\ (x-y)(xy-2x-2y)&=0 \end{align}

Desde $x\ne y$ , $xy-2x-2y=0$ . Pero esto es imposible ya que $xy\ge0$ y $x+y<0$ (Tenga en cuenta que $x\ne y$ implica que $x$ y $y$ no pueden ser ambos cero).

Esto lleva a una contradicción.

$f$ es inyectiva.

Answer 2

Otro enfoque $$ f(x)=\frac{x^2}{x-2}=\frac{(x-2)^2+4x-4}{x-2}=x-2+4*\frac{x-1}{x-2} $$ para x<0 Ahora bien, si x es creciente también lo es x-2 y (x-1)/(x-2) Así que f es creciente por lo que f es inyectiva