¿Es el mapa inducido sobre grupos fundamentales correspondiente a la inclusión inyectiva?

Question

Sé que si $A$ es un subespacio de $X$ y $X$ se retrae a $A$ entonces la inclusión induce una inyección y la retracción induce una suryección entre los grupos fundamentales. Mi pregunta es, si no se da ninguna condición de retracción, ¿es cierto que la inclusión $A\rightarrow X$ ¿Induce una inyección? Creo que es cierto y mi pregunta puede ser trivial, pero agradecería una respuesta/explicación.

Answer 1

Dejemos que $A = S^1$ , $X = \mathbb{R}^2$ y $i : A \to X$ sea la inclusión. El mapa $i_* : \pi_1(A) \to \pi_1(X)$ no es inyectiva. La cuestión es que un bucle no trivial en $A$ puede resultar trivial si se considera como un bucle en $X$ mediante la inclusión $i$ .