La expansión de Taylor de $\ln\frac{1-z^3}{1+z^3}$ en la rama analítica regular

Question

Necesito encontrar la expansión de Taylor en $z=0$ de $f(z)=\ln\frac{1-z^3}{1+z^3}$

Tenía dos enfoques:

La primera,

$f(z)=\ln\frac{1-z^3}{1+z^3} = \ln(1-z^3) - \ln(1+z^3)$ pero me di cuenta de que esto no es cierto en el caso complejo.

El segundo,

$f(z)=\ln\frac{1-z^3}{1+z^3} = \ln(1+\frac{-2z^3}{1+z^3})$ y continuar con la expansión "normal" de taylor pero esto no se ve que me lleve a la solución.

Me encantaría tener una idea.

Answer 1

Si $z\in U(0),$ entonces $\dfrac{1-z^3}{1+z^3}\in U(1),$ por lo que es posible elegir la rama regular de $\ln {\dfrac{1-z^3}{1+z^3}}$ (aquí $U(a)$ denota alguna vecindad del punto $a.$ )

Dejemos que $f(\zeta)=\ln\frac{1-\zeta^3}{1+\zeta^3}, \;\; \zeta\in U(0).$ Entonces \begin{gather} \dfrac{df}{d\zeta}=-\dfrac{6\zeta^2}{1-\zeta^{6}}=-{6}\zeta^2 \sum\limits_{k=0}^{\infty}(\zeta^6)^k=-{6} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\zeta^{6{k}+2}. \tag{*} \end{gather} A continuación puede integrar $(*)$ por $\zeta$ de $0\; \text{to}\; z.$