Joseph f. johnson ya dio una motivación para el caso unidimensional.
Creo que el ejemplo físico ecuación de difusión
$$\frac{\partial}{\partial t}n(x)=D \frac{\partial^2}{\partial x^2}n(x)$$
es la mejor manera de ilustrarlo:
(fuente: <a href="https://pvcdrom.pveducation.org/SEMICON/Images/Diffusion.png" rel="nofollow noreferrer">pveducation.org </a>)
Si la función se parece a $x^2$ (curvatura positiva), como izquierda y derecha, entonces en el siguiente paso de tiempo la función $n(x)$ crecerá allí. Si la función se parece a $-x^2$ (curvatura negativa), como en el centro, entonces en el siguiente paso de tiempo la función $n(x)$ disminuirá.
Respecto a tu pregunta en el comentario, tienes razón en cierto modo. Si miras aquí en la segunda sección titulada "Los armónicos esféricos de Laplace",
http://desmond.imageshack.us/Himg542/scaled.php?server=542&filename=unbenannt2sq.png&res=medium
entonces se ve que para este tipo común de función los grados de libertad radial y rotacional en 3D son en realidad para que su curvatura sea constante $\lambda$ respecitvamente, pero juntos satisfacen $\Delta f=0$ .
Para entender mejor el concepto de "curvatura de la función" se puede echar un vistazo al cálculo de variaciones. Allí, en lugar del Laplaciano en $-\phi\Delta\phi$ , puede que quieras pensar en la expresión explícitamente cuadrática $\nabla\phi\nabla\phi$ . Analógico en cuanto a cómo suman sobre las curvaturas en el Acción de Einstein Hilbert , suman sobre esta expresión en el formalismo lagrangiano para campos o funciones .
Además, quiero decir que si ya entiendes el gradiente y la divergencia, entonces tiene sentido pensar en el Laplaciano $\Delta=\nabla^2$ como la divergencia del gradiente. También la casi solución, es decir, la función de Greens que señalaste en el comentario, apunta en esta dirección. Para la interpretación física de estos, en las ecuaciones que involucran al Laplaciano y para los operadores elípticos en general, se puede pensar primero en el Ecuación de Poisson en electrostática
$$\nabla^2\phi(\vec x)=\rho(\vec x),$$
donde $\phi(\vec x)$ es el potencial eléctrico. Aquí $\rho(\vec x)$ es la densidad de carga, que se puede considerar como compuesta por cargas puntuales localizadas en posiciones $\vec y$ con densidades descritas por $\delta(\vec x-\vec y)$ . Este pensamiento puede representarse de forma algo tautológica mediante
$$\rho(\vec x)=\int\rho(\vec y)\delta(\vec x-\vec y)d\vec y.$$
Ahora por el principio de superposición que es válida para el Ecuaciones de Mawell (o matemáticamente por el hecho de que su operador diferencial es lineal), si se conoce el potencial $G(\vec x)$ de una partícula puntual
$$\nabla^2G(\vec x)=\delta(\vec x),$$
ya conoces la solución al problema completo. Con
$$\phi(\vec x)=\int G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y,$$
que se asemeja a la suma de todos los potenciales puntuales, se encuentra que se resuelve la ecuación de Poissons:
$$\nabla^2\phi(\vec x)=\int \nabla^2G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y =\int \delta(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y=\rho(\vec x).$$
¿Cuál es el potencial de la partícula puntual? En este punto es útil pensar en $\nabla^2$ como la divergencia del gradiente
$$\text{div}(\vec \nabla G(\vec x))=\delta(\vec x).$$
El gradiente del potencial es el campo eléctrico, que es proporcional a la fuerza impuesta sobre otras cargas puntuales. Ahora bien, ¿cuál es el campo de fuerza de la partícula puntual que tiene divergencia cero pero es singular para $\vec x =0$ ? En tres dimensiones, la superficie $A$ de una esfera va como $A\propto r^2$ por lo que si la divergencia debe ser cero, la solución radial debe ir como $\frac 1 {r^2}$ que sólo es Ley de Coulombs . Integrando el gradiente restante, encontramos $$G(\vec r-\vec r_0)=\frac{c}{|r-r_0|}.$$ Del mismo modo, si estás en dos dimensiones, entonces la superficie va con $r$ el campo debe ser inverso a éste y la integral, es decir, la función de Greens va como $log(r)$ . Esta es la solución de la ecuación de Laplace que graficaste en el comentario. Bueno, por supuesto es sólo una solución en caso de sacar el centro. Ahí es divergente.
Muy a menudo se piensa en ese pico delta como fuente de una pertubación de algún campo. El operador diferencial proviene de alguna densidad lagrangiana que codifica las leyes de conservación y la función de Greens asociada describe cómo la información se aleja de la fuente. El campo decae espacialmente y (en contraste con la ecuación de Poisson con una densidad de cambio $\rho(\vec x)$ ) la ecuación de Laplace restante $\nabla^2\phi(\vec x)=0$ describe la libre dispersión/propagación del potencial/onda. Así que en los puntos de origen, hay alguna interacción y el campo se perturba y entonces la información viaja lejos de allí. En estos puntos, donde no hay interacción, el campo cumple la ecuación libre que pediste. En este sentido, te recomiendo que te pongas a pensar en lo que ahora depende del tiempo el solución de la ecuación de onda lo hace en el espacio-tiempo. Entonces todavía se puede establecer $\rho$ independiente de $t$ y volver a la ecuación de Poisson.
Como nota al margen, todo este asunto de la propagación es un tema mayor en las Teorías de Campo (o "sus aplicaciones" como el procesamiento de señales), donde los Operadores implican derivadas temporales. En las Teorías Cuánticas, éstas son "sólo" ondas de propabilidad. Básicamente, si se conoce el propagadores y cómo anudarlos utilizando Diagramas de Feynman toda la teoría. Un ejemplo gráfico y por tanto ilustrativo es el Función de Greens de la ecuación del calor donde puedes ver literalmente cómo se disuelve la densidad.