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Interpretación del operador de Laplace

¿Cuál es su interpretación del operador de Laplace? Al evaluar el Laplaciano de algún campo escalar en un punto dado se puede obtener un valor. ¿Qué nos dice este valor sobre el campo o su comportamiento en el punto dado?

Puedo comprender el significado de gradiente y divergencia. Pero ver el operador de Laplace como divergencia del gradiente me da la interpretación "fuentes de gradiente" que para ser honesto no tiene sentido para mí.

Parece un poco más fácil interpretar el Laplaciano en ciertas situaciones físicas o interpretar la ecuación de Laplace, eso podría ser un buen punto de partida. O bien, una interpretación errónea. Busco una interpretación que sea tan universal como me parece la interpretación de los gradientes: aplicable, correcta y comprensible en cualquier campo escalar.

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DEfusion Puntos 2793

El laplaciano mide lo que podríamos llamar la "curvatura" o estrés del campo. Indica cuánto difiere el valor del campo de su valor medio tomado sobre los puntos circundantes. Esto se debe a que es la divergencia del gradiente te dice cuánto difiere la tasa de cambios del campo del tipo de variación constante que esperas en un flujo sin divergencia.

Mira una dimensión: el laplaciano es simplemente $\partial^2\over\partial x^2$ es decir, la curvatura. Cuando ésta es cero, la función es lineal, por lo que su valor en el centro de cualquier intervalo es la media de los extremos. En tres dimensiones, si el laplaciano es cero, la función es armónica y satisface el principio de promediación. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function#The_mean_value_property . Si no es así, el laplaciano mide su desviación con respecto a ésta.

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pauliephonic Puntos 1497

Joseph f. johnson ya dio una motivación para el caso unidimensional.

Creo que el ejemplo físico ecuación de difusión

$$\frac{\partial}{\partial t}n(x)=D \frac{\partial^2}{\partial x^2}n(x)$$

es la mejor manera de ilustrarlo:

enter image description here
(fuente: <a href="https://pvcdrom.pveducation.org/SEMICON/Images/Diffusion.png" rel="nofollow noreferrer">pveducation.org </a>)

Si la función se parece a $x^2$ (curvatura positiva), como izquierda y derecha, entonces en el siguiente paso de tiempo la función $n(x)$ crecerá allí. Si la función se parece a $-x^2$ (curvatura negativa), como en el centro, entonces en el siguiente paso de tiempo la función $n(x)$ disminuirá.


Respecto a tu pregunta en el comentario, tienes razón en cierto modo. Si miras aquí en la segunda sección titulada "Los armónicos esféricos de Laplace",

http://desmond.imageshack.us/Himg542/scaled.php?server=542&filename=unbenannt2sq.png&res=medium

entonces se ve que para este tipo común de función los grados de libertad radial y rotacional en 3D son en realidad para que su curvatura sea constante $\lambda$ respecitvamente, pero juntos satisfacen $\Delta f=0$ .


Para entender mejor el concepto de "curvatura de la función" se puede echar un vistazo al cálculo de variaciones. Allí, en lugar del Laplaciano en $-\phi\Delta\phi$ , puede que quieras pensar en la expresión explícitamente cuadrática $\nabla\phi\nabla\phi$ . Analógico en cuanto a cómo suman sobre las curvaturas en el Acción de Einstein Hilbert , suman sobre esta expresión en el formalismo lagrangiano para campos o funciones .


Además, quiero decir que si ya entiendes el gradiente y la divergencia, entonces tiene sentido pensar en el Laplaciano $\Delta=\nabla^2$ como la divergencia del gradiente. También la casi solución, es decir, la función de Greens que señalaste en el comentario, apunta en esta dirección. Para la interpretación física de estos, en las ecuaciones que involucran al Laplaciano y para los operadores elípticos en general, se puede pensar primero en el Ecuación de Poisson en electrostática

$$\nabla^2\phi(\vec x)=\rho(\vec x),$$

donde $\phi(\vec x)$ es el potencial eléctrico. Aquí $\rho(\vec x)$ es la densidad de carga, que se puede considerar como compuesta por cargas puntuales localizadas en posiciones $\vec y$ con densidades descritas por $\delta(\vec x-\vec y)$ . Este pensamiento puede representarse de forma algo tautológica mediante

$$\rho(\vec x)=\int\rho(\vec y)\delta(\vec x-\vec y)d\vec y.$$

Ahora por el principio de superposición que es válida para el Ecuaciones de Mawell (o matemáticamente por el hecho de que su operador diferencial es lineal), si se conoce el potencial $G(\vec x)$ de una partícula puntual

$$\nabla^2G(\vec x)=\delta(\vec x),$$

ya conoces la solución al problema completo. Con

$$\phi(\vec x)=\int G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y,$$

que se asemeja a la suma de todos los potenciales puntuales, se encuentra que se resuelve la ecuación de Poissons:

$$\nabla^2\phi(\vec x)=\int \nabla^2G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y =\int \delta(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y=\rho(\vec x).$$

¿Cuál es el potencial de la partícula puntual? En este punto es útil pensar en $\nabla^2$ como la divergencia del gradiente

$$\text{div}(\vec \nabla G(\vec x))=\delta(\vec x).$$

El gradiente del potencial es el campo eléctrico, que es proporcional a la fuerza impuesta sobre otras cargas puntuales. Ahora bien, ¿cuál es el campo de fuerza de la partícula puntual que tiene divergencia cero pero es singular para $\vec x =0$ ? En tres dimensiones, la superficie $A$ de una esfera va como $A\propto r^2$ por lo que si la divergencia debe ser cero, la solución radial debe ir como $\frac 1 {r^2}$ que sólo es Ley de Coulombs . Integrando el gradiente restante, encontramos $$G(\vec r-\vec r_0)=\frac{c}{|r-r_0|}.$$ Del mismo modo, si estás en dos dimensiones, entonces la superficie va con $r$ el campo debe ser inverso a éste y la integral, es decir, la función de Greens va como $log(r)$ . Esta es la solución de la ecuación de Laplace que graficaste en el comentario. Bueno, por supuesto es sólo una solución en caso de sacar el centro. Ahí es divergente.

Muy a menudo se piensa en ese pico delta como fuente de una pertubación de algún campo. El operador diferencial proviene de alguna densidad lagrangiana que codifica las leyes de conservación y la función de Greens asociada describe cómo la información se aleja de la fuente. El campo decae espacialmente y (en contraste con la ecuación de Poisson con una densidad de cambio $\rho(\vec x)$ ) la ecuación de Laplace restante $\nabla^2\phi(\vec x)=0$ describe la libre dispersión/propagación del potencial/onda. Así que en los puntos de origen, hay alguna interacción y el campo se perturba y entonces la información viaja lejos de allí. En estos puntos, donde no hay interacción, el campo cumple la ecuación libre que pediste. En este sentido, te recomiendo que te pongas a pensar en lo que ahora depende del tiempo el solución de la ecuación de onda lo hace en el espacio-tiempo. Entonces todavía se puede establecer $\rho$ independiente de $t$ y volver a la ecuación de Poisson.

enter image description here

Como nota al margen, todo este asunto de la propagación es un tema mayor en las Teorías de Campo (o "sus aplicaciones" como el procesamiento de señales), donde los Operadores implican derivadas temporales. En las Teorías Cuánticas, éstas son "sólo" ondas de propabilidad. Básicamente, si se conoce el propagadores y cómo anudarlos utilizando Diagramas de Feynman toda la teoría. Un ejemplo gráfico y por tanto ilustrativo es el Función de Greens de la ecuación del calor donde puedes ver literalmente cómo se disuelve la densidad.

16voto

seb Puntos 157

No hay nada realmente nuevo que añadir a las dos grandes respuestas ya dadas - sólo un ejemplo particular que me ayudó.

Cuando se examina la versión en diferencias finitas de la ecuación de Laplace en 2 dimensiones, se encuentra que la discretizada $\phi$ satisface la ecuación de Laplace si, en esta imagen de parte de la red, $\phi_{i,j}$ en el centro es la media de los 4 valores circundantes, es decir $$\phi_{i,j}= {1\over4}(\phi_{i+1,j}+\phi_{i-1,j}+\phi_{i,j+1}+\phi_{i,j-1} )$$

enter image description here

Así que la cantidad por la que $\nabla^2\phi$ no sea cero es la cantidad en la que el valor del centro difiere de la media de los valores circundantes.

Como ya he dicho, nada nuevo, pero este fue el ejemplo concreto en el que pensé por primera vez: ¡ajá, eso es lo que significa el Laplaciano!

5voto

Terry Bollinger Puntos 11535

... ver el operador de Laplace como divergencia de gradiente me da la interpretación "fuentes de gradiente" que para ser honesto no tiene sentido para mí ... interpretar el Laplaciano en ciertas situaciones físicas ... podría ser un buen lugar para empezar ... Busco una interpretación que sea tan universal como los gradientes ... aplicable, correcta y comprensible en cualquier campo escalar.

Este es un enfoque diferente: Deja de pensar en el campo potencial como la representación más fundamental.

En su lugar, suponer que, al menos para un cierto rango de situaciones físicamente interesantes y no triviales, son los campos vectoriales los que se acercan más a la realidad física subyacente. Una forma sencilla de lograrlo es suponer dos cosas: (1) que los campos vectoriales siempre representan flujos literales de "algo" a través de puntos del espacio, y (2) que ese "algo" es incompresible y se conserva (por ejemplo, el agua) mientras se mueve por el espacio.

La segunda restricción es importante porque garantiza que un escalar El campo potencial puede definirse como el campo de velocidades (magnitudes de velocidad) del fluido en cada punto del espacio. Este campo potencial es útil porque es muy sencillo (escalar), pero también recoge todos los supuestos de propiedades no triviales en un solo paquete.

El ejemplo más fácil de por qué se puede decidir tomar los campos vectoriales como más fundamentales es la hidrodinámica, ya que en ese caso el campo vectorial representa flujos bastante literales de una sustancia física real.

Sin embargo, también funciona bien -podría decirse que incluso mejor- para la electrodinámica, lo que puede sorprender a quien esté acostumbrado sólo al enfoque del potencial. El primer modelo de flujo de Maxwell suponía un flujo literal de "algo" (no carga) de "+" a "-" (o viceversa). Además, suponía que este "algo" era capaz de aparecer y desaparecer de forma bastante mágica del espacio ordinario al salir de una carga y llegar a la otra. Maxwell era perfectamente consciente de lo impar que sonaba eso, pero no era su punto, ya que era el flujo que permitía calcular con precisión cosas interesantes.

Así que, volviendo a tu pregunta: ¿Qué es la "fuente de un gradiente" y qué sentido tiene?

En el modelo de fluido o flujo primero eso es fácil: el gradiente es el flujo, representado por el momento por una función del campo de potencial, menos real pero matemáticamente útil. Por tanto, el laplaciano significa simplemente la "fuente del flujo", un concepto bastante literal.

En cuanto a la aplicabilidad a cualquier campo escalar, debo señalar que hay muchos casos en los que la interpretación del flujo primero no es claramente la más física. Por ejemplo, un campo escalar que muestre las densidades de una impureza dentro de un sólido no es ciertamente un campo de flujo. (Aunque incluso en ese caso, es probable que el registro de un campo de flujo anterior, ya que los gradientes suaves no surgen de procesos de implantación de impurezas totalmente aleatorios).

Pero incluso cuando digo eso, esto es lo que he notado que es sorprendente: Para las situaciones en las que el Laplaciano es interesante y útil, el modelo de flujo primero hace parecen aplicarse, al menos en los casos más interesantes. En realidad, no es de extrañar, ya que el laplaciano dice más o menos lo mismo: "Esta región es interesante porque parece que "algo" sale de él o entra en él..."

En cualquier caso, puedo decir honestamente que he encontrado este modelo personalmente útil para tratar de visualizar problemas en temas como la teoría cuántica, la hidrodinámica y el electromagnetismo, lo suficiente como para buscar activamente cómo el modelo inherentemente dinámico del flujo primero podría proporcionar una mejor comprensión de los procesos nominalmente descritos por el concepto mucho más estático del gradiente de un campo potencial escalar.

5voto

Bogdan Maxim Puntos 2365

Hoy me he encontrado con esta pregunta durante mi investigación. Permítanme compartir con ustedes mi comprensión del problema con un ejemplo.

En primer lugar, el operador laplaciano es la aplicación de la operación de divergencia sobre el gradiente de una cantidad escalar. $$ \Delta q = \nabla^2q = \nabla . \nabla q$$

Supongamos que aplicamos el operador laplaciano a una cantidad escalar física y tangible como la presión del agua (análoga al potencial eléctrico).

Se puede pensar en el gradiente de la presión del agua como una dirección de la corriente constante en el tiempo del agua causada por el contacto directo con otras moléculas como un archivo de flechas de dirección (un análogo cojo para el campo eléctrico (no existe una buena analogía)).

Así, la divergencia del gradiente de una presión de agua es lo mismo que la divergencia del campo de flechas de dirección de la corriente de agua. Si este campo tiene una divergencia nula (es decir, la ecuación de Laplace) entonces la corriente no está siendo convergente (comprimida) ni divergente (expandida) (es decir, el agua mantiene una densidad constante)

En este contexto, la ecuación de Laplace se ajusta perfectamente a los fluidos incompresibles (el agua es un buen ejemplo).

PS No me preocupé por el signo de las ecuaciones.

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