¿Puedes comprobar mi demostración sobre un subespacio invariante bajo un operador lineal diagonilizable y su subespacio invariante complementario?

Question

Este era un problema de ejercicio de H&K Álgebra Lineal (sección 7.2, ejercicio 18). ¿Podría comprobar mi prueba?

El teorema es el siguiente:

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $W$ es un subespacio invariante de un operador lineal diagonalizable $T$ entonces $W$ tiene un $T$ -invariante del subespacio complementario.

Paso 1)

Primero demostraré que si $W_1$ ,..., $W_k$ son subespacios obtenidos a partir del teorema de la descomposición primaria y si $W$ es un subespacio invariante del operador lineal, $T$ entonces $(W_1\cap W)\oplus ...\oplus (Wk\cap W)=W$ .

Supongamos que $p_1^{r_1}...p_k^{r_k}$ es la descomposición primaria del polinomio mínimo de $T$ donde cada $p_i$ es irreducible. Sabemos que el polinomio mínimo de $T_W$ La restricción de $T$ en $W$ divide el polinomio mínimo de $T$ . Por lo tanto, el polinomio mínimo de $T_W$ es igual a:

$p_1^{d_1}...p_k^{d_k}$ donde $d_i \leq r_i$ .

Ahora, aplicando el teorema de la descomposición primaria a $T_W$ obtenemos subespacios $U_i=\text{Null}(p^i(T)^{d_i})$ tal que su suma directa es $W$ . También, $\text{Null}(p^i(T_W)^{r_i})$ es igual a $(W_i\cap W)$ desde $\text{Null}(p^i(T)^{r_i})=W_i$ y $T_W$ es la restricción de $T$ en $W$ . Desde $r_i\geq d_i$ , $(W_i\cap W)$ debe contener $U_i$ . Sin embargo, suponiendo que $U_i$ es un subconjunto propio de $(W_i\cap W)$ nos da la contradicción porque cada $(W_i\cap W)$ es independiente y la suma directa de $U_i$ formularios $W$ .

Paso 2)

Volviendo al teorema original, ya que $T$ es diagonalizable si y sólo si el polinomio mínimo de $T$ viene dada por $(x-c_1)...(x-c_k)$ donde $c_1,...,c_k$ son valores característicos distintos de $T$ , subespacios $W_i$ asociado a cada valor característico es equivalente a los subespacios obtenidos por el teorema de la descomposición primaria.

Ahora, debemos demostrar que $T$ es $T$ -admisible en el subespacio invariante $W$ . Si $f(T)\beta \in W$ entonces hay vectores distintos $\beta_1,...,\beta_k$ en $W_1,..,W_k$ respectivamente, de manera que $f(T)\beta=f(T)\beta_1+...+f(T)\beta_k$ . Dado que cada $\beta_i$ se eligió de cada $W_i$ Cada uno de ellos $\beta_i$ es un vector característico de $T$ , por lo que obtenemos

$f(T)\beta=f(c_1)\beta_1+...+f(c_k)\beta_k$

Entonces, utilizando el paso 1, vemos que

$(W_1\cap W)\oplus ...\oplus (Wk\cap W)=W$

Así que cada $f(c_i)\beta_i \in (W_i\cap W)$ y como $f(c_i)$ es un escalar, $\beta_i \in (W_i\cap W)$ . Teniendo $\gamma=\sum \beta_i$ que está claramente en $W$ obtenemos

$f(T)\gamma=f(T)(\beta_1+...+\beta_k)=f(T)\beta$ .

Answer 1

Un poco tarde a la "fiesta", intentaré dar una respuesta a su pregunta real antes de señalar un duplicado, donde se puede encontrar una prueba alternativa. A la pregunta "¿puede usted comprobar mi prueba?" diría que la respuesta depende de que esté familiarizado con los términos utilizados, en particular con la terminología (inadmisible, si me pregunta) " $T$ -subespacio admisible". Aunque encontré varias preguntas que lo mencionaban en este sitio, no pude encontrar ninguna que diera una definición. Así que me incliné a responder "no, no podemos comprobar tu prueba", pero afortunadamente me topé con una copia electrónica del libro de Hoffman & Kunze (que parece ser el único texto que define esta noción), así que ahora puedo reproducir su definición (ligeramente mejorada)

Definición. Dejemos que $T$ sea un operador lineal sobre un espacio vectorial $V$ y que $W$ sea un subespacio de $V$ . Entonces $W$ es $T$ -admisible si

(i) $W$ es invariable bajo $T$ ;

(ii) si $p[T](v)\in W$ para algunos $v\in V$ y algún polinomio $p$ entonces existe un vector $w\in W$ tal que $p[T]v = p[T](w)$ .

En cuanto a la $F[X]$ -(con $X$ actuando como $T$ ) esto dice que $W$ es un submódulo tal que $p.\!V\cap W\subseteq p.\!W$ por cada $p\in F[X]$ (siendo la inclusión opuesta cierta para cualquier submódulo).

Ser $T$ -es claramente una condición necesaria para los sumandos en un $T$ -descomposición de la suma directa invariante de $~V$ : si $V=\oplus U$ entonces $p.V\cap W=(p.W\oplus p.U)\cap W=p.W\oplus\{0\}=p.W$ . Resulta que también es una condición suficiente, pero esta dirección es menos obvia; se demuestra como parte del Teorema de Descomposición Cíclica.

Se desea demostrar que para una diagonalizable $T$ cualquier $T$ -subespacio invariable $~W$ admite un $T$ -complemento invariable demostrando que $W$ es $T$ -admisible, que es ciertamente una opción. Tu paso 1) es correcto, aunque me parece que podría simplificarse. Estás utilizando el teorema de la descomposición primaria, y su demostración se basa de hecho en que las proyecciones sobre los factores primarios para $~T$ están dados por ciertos polinomios en $~T$ restringiendo las del subespacio invariante $~W$ da proyecciones a las intersecciones de $~W$ con los factores primarios, y el paso 1 sigue inmediatamente.

No entiendo muy bien lo que está haciendo en el paso 2. Aparentemente estás tomando cualquier $\beta\in V$ con $f[T](\beta)\in W$ y descomponiendo $\beta$ como suma de elementos $\beta_i\in W_i$ (los factores primarios, que a pesar de su nombre no están relacionados con $~W$ ). Entonces, el $\beta_i$ el operador $p[T]$ actúa como el escalar $p[c_i]$ y desea concluir de $p[T](\beta_i)\in W$ que $\beta_i$ ya está en $~W$ . Pero el escalar $p[c_i]$ podría ser cero, y esto parece frustrar tu intento de prueba. De hecho en sería extraño demostrar que $\beta_i\in W$ ya que $\gamma=\sum_i\beta_i$ es sólo su original $~\beta$ y habrías demostrado que se encuentra en $~W$ incluso si se decide no hacerlo.

Dado que has probado el paso 1, yo sugeriría una continuación mucho más fácil Olvidar $T$ admisibilidad, y elegir directamente los complementos en cada $~W_i$ de $W\cap W_i$ ya que todo polinomio en $~T$ actúa en cada $~W_i$ por un escalar (en función de $~i$ ), todos los subespacios de $W_i$ son $T$ -invariante, por lo que no hay ningún obstáculo en este caso. Entonces la suma (directa) de los complementos da un complemento de $~W$ en $~V$ .

Véase también: Existencia del complemento invariante de T del subespacio invariante de T cuando T es diagonalizable