No sé por qué tengo problemas con esto, pero no consigo ver si los polinomios ciclotómicos se consideran resolubles. Obviamente podemos escribir la solución del enésimo polinomio ciclotómico como la enésima raíz de la unidad, que parece ser una solución algebraica perfectamente buena; pero ¿no suele haber soluciones "mejores"? He hecho el quinto y el séptimo, y creo que a Gauss se le atribuye la solución del undécimo, si no me equivoco; el decimoséptimo se desprende de la construcción del 17-gon regular... pero sigo sin tenerlo claro: ¿son todos ellos, en teoría, resolubles "explícitamente", es decir, más allá del nivel de decir simplemente que la enésima raíz de la unidad es una solución?
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Matt Dawdy
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Un polinomio es soluble si su campo de división es soluble si su grupo de Galois es soluble. El grupo de Galois del polinomio ciclotómico $\Phi_n(x)$ es $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\ast}$ que es abeliano, y todos los grupos abelianos son solubles.
Una cuestión interesante es cómo encontrar expresiones radicales "bonitas" para las raíces de la unidad. Una forma de hacerlo es pasar por la prueba de que las raíces de un polinomio resoluble son expresables en radicales encontrando una serie de composición del grupo de Galois y construyendo extensiones de Kummer.
Quizá lo más fácil sea describirlo con un ejemplo, así que tomemos $n = 5$ . Entonces $\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ tiene grupo de Galois $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\ast} \cong C_4$ por lo que tiene una serie de composición con dos factores de $C_2$ . Esto implica que $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ es una extensión cuadrática de una extensión cuadrática. Los hechos básicos sobre las sumas de Gauss implican que la segunda extensión cuadrática es $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ Así que $\zeta_5$ satisface un polinomio cuadrático con coeficientes en $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ . Este polinomio debe ser $$x^2 - (\zeta_5 + \zeta_5^{-1}) x + 1.$$
De nuevo, los hechos básicos sobre las sumas de Gauss implican que $\zeta_5 + \zeta_5^{-1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ por lo que se deduce por la fórmula cuadrática que $$\zeta_5 = \frac{ 1 - \sqrt{5} + i \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} }{4}.$$
En general, es posible que haya que tomar algo más que raíces cuadradas, en cuyo caso las cosas se complican. Habrá expresiones que uno puede escribir generalizando las sumas de Gauss que están garantizadas para caer en un subcampo específico de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ pero no conozco una buena manera de averiguar realmente cuáles son esas expresiones a mano, y al escribir las extensiones de Kummer uno puede necesitar unir raíces menores de la unidad (así que creo que el caso más importante es cuando $n$ es primo).
Una observación básica es que el problema se reduce al caso de que $n$ es una potencia de un primo, ya que para un $n$ es posible escribir $\zeta_n$ como producto de raíces de la forma $\zeta_{p^k}$ donde $p^k \parallel n$ .
El método de los resolventes de Lagrange consigue resolver ecuaciones ciclotómicas en radicales (en el sentido útil, no en el de "raíz enésima de 1"). Esto se discute en términos bastante elementales, con ejemplos, en el capítulo 19 de mi libro/notas de curso de álgebra, en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/
Sin embargo, ese enfoque, esencialmente elemental, se convierte rápidamente en una carga, ciertamente difícil de hacer o de entender mediante el cálculo manual. Pero si observamos que los resolventes son _sumas de Gauss_, entonces la mezcla de algunas ideas de Kummer y Eisenstein da un enfoque muy mejorado, pero menos elemental, de la expresión de las raíces de la unidad por radicales. Esto se discute, con varios ejemplos, en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/kummer_eis.pdf
