Atascado en la integral: $\int x^2(1-x^2)^{1/2}\, dx$

Question

Hasta ahora he sustituido $x=\sin t$ ; $dx = \cos t\; dt$ , dejando que me integre $\sin^2t\cos^2t\;dt$ .

Estoy atrapado aquí. Pensé en usar la identidad $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ pero parece que no lleva a ninguna parte.

Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ y $\cos(2t) = 1-2\sin^2(t)$ . De ello se desprende que

$$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx = \int \sin^2(t)\cos^2(t) dt = \int (\frac{1}{2}\sin(2t))^2dt =\frac{1}{4} \int \frac{1-\cos(4t)}{2}dt\text{.}$$