Límite trigonométrico: $(1-\sqrt{\cos x})/x^2$ como $x\to 0$ sin utilizar L'Hopital

Question

Tengo que evaluar este límite sin utilizar L'Hopital. ¿Podría ayudarme?

$$\lim_{x \to 0} {1-\sqrt{\cos(x)}\over x^2}$$

Ya lo he racionalizado:

$$\lim_{x \to 0} \left({1-\sqrt{\cos(x)}\over x^2}\right) \left({1+\sqrt{\cos(x)}\over 1+\sqrt{\cos(x)}}\right)$$

Y lo conseguí:

$$\lim_{x \to 0} \left({1-\cos(x)\over x^2(1+\sqrt{\cos(x)})}\right)$$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{1-\cos(x)}{x^2(1+\sqrt{\cos x})}=\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\sqrt{\cos x})(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\frac{1}{(1+\sqrt{\cos x})(1+\cos x)} $$ entonces puede utilizar $\lim_{x\to 0}\sin(x)/x=1$ . Los argumentos a favor de este último hecho se pueden ver aquí . Algunos de ellos no emplean la regla de L'Hopital.