Mínimo Global de $f(a) = \int _{-\infty}^{\infty} \exp\left(-|x|^a\right)dx, a\in(0,\infty)$

Question

Jugando con la distribución Normal Estándar, $\exp\left(-x^2\right)$, me preguntaba acerca de la generalización de la distribución mediante la parametrización de la $2$ a una variable $a$. Después de la representación gráfica de la distribución para diferentes valores de $a$, me decidí a ver cómo el valor de $a$ afectada el área bajo la curva, que me llame a $f(a) = \int _{-\infty}^{\infty} \exp\left(-|x|^a\right)dx$. Incapaz de calcular este analíticamente (el método usual para calcular el caso de $a=2$ por coordenadas polares no generalizar) me decidí a calcular la función numéricamente. Aquí hay un gráfico de la función de $a\in[1,10]$:

Como se puede ver, la función tiene un mínimo de cerca (pero no en) $a=2$. Estoy particularmente interesado en encontrar el valor exacto del valor mínimo, a pesar de cualquier otra información acerca de esta función sería interesante saber. Usando Python, mi mejor estimación para el mínimo global es $a\approx2.1662269$.

Aquí está una lista completa de lo que sé acerca de la función:

• Como $a\to0$, $f(a)\to\infty$
• Como $a\to\infty$, $f(a)\to2$
• Hay un mínimo global en torno a $a\approx2.1662269$
• $f$ es monótonamente decreciente en el intervalo de $(0,\mathrm{minimum})$ y monótonamente creciente en $(\mathrm{minimum},\infty)$

Además de que estoy perplejo. Traté de calcular el $\frac{d}{da}f(a) = \frac{d}{da}\int _{-\infty}^{\infty} \exp\left(-|x|^a\right)dx$ pero no estoy seguro de cómo evaluar que (tal vez hay alguna multivariable generalización del Teorema Fundamental del Cálculo que he olvidado?). Me he tomado el Cálculo a través de clases de Calc III y Diff Eq, pero no tienen ni idea de cómo solucionar esto.

Answer 1

$$\int_0^{\infty} dx \, e^{-x^a} = \frac1{a} \int_0^{\infty} du \, u^{1/a - 1} e^{-u} = \frac1{a} \Gamma \left ( \frac1{a} \right ) = \Gamma \left ( 1+\frac1{a} \right )$$

Para encontrar un local de mínimos, el uso de $\Gamma'(x) = \Gamma(x) \psi(x) $. Aparte de eso, usted es más o menos pegada con un trascendental ecuación. Ciertamente, $\psi(x)$ tiene un cero en las inmediaciones de los mínimos se han señalado, pero no tengo una buena, no forma numérica de la localización de la misma.

Answer 2

Continuando con Ron Gordon respuesta, sólo tenemos que localizar el mínimo absoluto de la función $\Gamma(1+z)$$\mathbb{R}^+$. Desde $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$, es trivialmente en el intervalo de $I=(0,1)$. Desde: $$\Gamma'(1+z) = \Gamma(1+z)\,\psi(z+1)\tag{1}$$ sólo tenemos que encontrar la única solución en $I$ de los: $$ \gamma = \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z}\right).\tag{2}$$ El lado derecho es una suave, creciente, cóncava de la función en $I$, por lo que sólo unos pasos del método de Newton con el punto de partida $z=\frac{1}{2}$ dar que la solución es acerca de $0.461632$, por lo que el mínimo de $\Gamma(z+1)$ $\mathbb{R}^+$ es de alrededor de $\color{red}{0.8856}$.

Answer 3

Continuando con Ron Gordon respuesta, $$\frac {d}{da}\Gamma(1+\frac 1a)=-\frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{a}\right) \psi \left(1+\frac{1}{a}\right)}{a^2}$$ and so, we look for the zero of $\psi \left(1+\frac{1}{a}\right)$.

Teniendo en cuenta su resultado, podemos expandir $\psi \left(1+\frac{1}{a}\right)$ como una serie de Taylor construido en $a=2$ y obtener $$\psi \left(1+\frac{1}{a}\right)=\psi \left(\frac{3}{2}\right)+\left(1-\frac{\pi ^2}{8}\right) (a-2)+\frac{1}{32} (a-2)^2 \left(-16+2 \pi ^2+\psi ^{(2)}\left(\frac{3}{2}\right)\right)+\frac{1}{384} (a-2)^3 \left(192-12 \pi ^2-\pi ^4-12 \psi ^{(2)}\left(\frac{3}{2}\right)\right)+O\left((a-2)^4\right)$$ Numerically $$\psi \left(\frac{3}{2}\right)\approx 0.036489973978576520559$$ $$\psi ^{(2)}\left(\frac{3}{2}\right)\aprox -0.82879664423431999560$$ Limiting to the second order, solving the quadratic equation leads to $$a \approx 2.16699$$ Using the third order would lead to $$a \approx 2.16618$$ muy cerca de su observación, que es el resultado perfecto.