Problema de teoría de control sobre los signos de exclamación

Question

Tu amigo te acaba de dar una gran noticia y quieres poner la mayor cantidad de signos de exclamación al final de la frase como respuesta. Empiezas con un signo de exclamación en tu portapapeles. Si te lleva $b$ milisegundos para resaltar el texto anterior y pulsar ctrl-c (acción de copiar) y $a$ milisegundos para pulsar ctrl-v (acción de inserción), ¿qué estrategia debe emplear para introducir signos de exclamación lo más rápido posible?

O, más sucintamente; "¿cuántas veces hay que pegar antes de volver a copiar?".

¡Tiene que haber una forma más interesante/elegante que simplemente resolver la recursión HJB!

Answer 1

Si tengo $n$ signos de exclamación en el archivo y $m$ en el portapapeles, puedo añadir $m$ en $a$ mseg, dejando $m$ en el portapapeles o puedo añadir $n$ en $a+b$ mseg, dejando $n$ en el portapapeles. El primer pegado da $n=m=1$ . Después de cada copia/pega tenemos $n=2m$ así que empezamos con eso. Claramente queremos hacer $k$ pega entre las copias. Entonces un ciclo consiste en $k-1$ pega, copia, pega. Toma $ak+b$ mseg y multiplica el número de signos de exclamación por $(1+\frac {k-1}2)\cdot 2=1+k$ . Para obtener la tasa de crecimiento exponencial más rápida, queremos la tasa de crecimiento más rápida del logaritmo del número de signos de exclamación, por lo que maximizamos $\frac {\log(1+k)}{ak+b}$ . Tomando la derivada y poniéndola a cero tenemos $$0=\frac d{dk}\frac {\log(1+k)}{ak+b}= \frac{a k - a (k + 1) \log(k + 1) + b}{(k + 1) (a k + b)^2}\\ ak+b=a(k+1)\log(k+1)\\ k+\frac ba=k\log(k+1)$$ que no podemos resolver analíticamente. Podría ceder a la función W de Lambert. A continuación se muestra un gráfico, donde el eje horizontal es $\frac ba$ y el eje vertical es $k$ .