¿Qué tiene de significativo la semisuma de raíces positivas?

Question

Pido disculpas por la pregunta un tanto vaga: puede haber múltiples respuestas, pero creo que está formulada de tal manera que es posible obtener respuestas precisas.

Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie semisimple (digamos sobre $\mathbb{C}$ ) y $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ una subálgebra de Cartan. Todas las referencias que he visto que estudian la teoría de la representación de $\mathfrak{g}$ en detalle hacen uso de la semisuma de raíces positivas, que es un elemento de $\mathfrak{h}^\ast$ : p. ej. Notas de Gaitsgory en la categoría O introducen la "acción punteada" del grupo de Weyl en $\mathfrak{h}^\ast$ cuya definición implica esta media suma.

¿Existe una buena explicación general de por qué este elemento de $\mathfrak{h}^\ast$ ¿es importante? La alternativa, supongo, es que simplemente es conveniente en varias situaciones, pero esto es bastante insatisfactorio.

Answer 1

No creo que haya una respuesta de una sola línea a esta pregunta, ya que depende mucho de la dirección desde la que se aborde la teoría de Lie semisimple. Por un lado, probablemente sea mejor al principio hacer hincapié sólo en integral pesos, entre los cuales los dominantes parametrizan representaciones irreducibles de dimensión finita. Aquí el peso que se suele denotar $\rho$ desempeña un papel omnipresente en la teoría clásica de Weyl, pero ésta también puede desarrollarse de diferentes maneras. (Hubo algunos experimentos tempranos con la notación; el símbolo alternativo $\delta$ también tenía un uso extendido antes de la preferencia de Bourbaki por $\rho$ comenzó a tomar el control en 1968).

Aunque es importante en las pruebas de la fórmula de caracteres de Weyl ver $\rho$ como la semisuma de las raíces positivas (dado un sistema fijo positivo o simple), también es esencial identificarla con la suma de pesos dominantes fundamentales para muchos propósitos. De esta forma, es la más pequeña regular peso dominante, fijado por ningún elemento del grupo de Weyl excepto la identidad. Al pasar de pesos integrales a haces de líneas sobre una variedad bandera asociada $G/B$ (con $B$ un subgrupo de Borel asociado a las raíces positivas en relación con un toro fijo maximal que contiene), el peso $\rho$ tiene la particularidad de definir un amplia paquete de líneas. Esta propiedad es crucial en las aproximaciones geométricas a la fórmula de Weyl, así como en las derivaciones en característica primera debidas a Andersen y otros.

En definitiva, la importancia del peso $\rho$ probablemente se aprecia mejor en el entorno de la teoría de la representación, donde la teoría dimensional finita se enriquece con el tratamiento de los módulos de mayor peso en mayor generalidad y el cambio por $\rho$ es de nuevo omnipresente. Por cierto, la conveniente notación "punto" $w \cdot \lambda := w(\lambda +\rho) - \rho$ se debe aparentemente a Robert Moody. En la literatura anterior aparece la notación completa, más incómoda, o bien se sustituye en la notación de París por una $\rho$ -Turno.

Nada de lo que he dicho es una respuesta completa a la pregunta formulada, pero en cualquier caso es más que una cuestión de "conveniencia" para enfatizar $\rho$ .

Answer 2

Desde el punto de vista de la geometría, el hecho crucial sobre $\rho$ es que el haz de líneas correspondiente en la variedad de la bandera es (hasta un signo) una (la) raíz cuadrada del haz canónico (potencia exterior superior de $T^*_B G/B \simeq b_- $ es la suma de las raíces negativas). Esto es, por supuesto, equivalente a la descripción de Alain Valette en términos del carácter modular del Borel. En otras palabras, sus secciones en el mundo real son semidensidades (cosas para las que podemos definir el $L^2$ producto interior).

Es un hecho universal que el paso del mundo clásico al mundo cuántico (en particular la construcción geométrica de las representaciones) implica un desplazamiento por la raíz cuadrada del haz canónico. Hay muchas maneras de explicar o motivar esto. Por ejemplo, si buscamos representaciones unitarias tenemos que ser capaces de definir un $L^2$ producto interior, lo que significa considerar no secciones del haz que podríamos haber esperado, sino secciones por semidensidades (de nuevo es la respuesta de Alain reformulada). Desde el punto de vista de los anillos de operadores diferenciales, el adjunto de un operador diferencial que actúa sobre funciones (o sobre secciones de un haz $L$ ) no es invariablemente otro difop (en $L$ ) sino un operador diferencial que actúa sobre formas de volumen (o sobre secciones de $L$ tensor el haz canónico) --- por lo que el giro auto dual de los operadores diferenciales es por medias formas, es decir $\rho$ - cambiada. (Dicho de otro modo, la dualidad de Serre es una reflexión centrada en las medias formas).

Mi explicación favorita se encuentra en Beilinson-Bernstein's Proof of Jantzen Conjectures y no implica la auto-unión o la unitariedad: es una condición de consistencia para la cuantificación de la deformación de los símbolos (funciones en el haz cotangente): si quieres que esta cuantificación de la deformación se normalice correctamente en el orden dos (esta no es la pregunta correcta para entrar en eso) te encuentras con que necesitas mirar a los operadores diferenciales retorcidos por las medias formas, no las funciones. En la variedad bandera esto significa un $\rho$ -y desde el punto de vista de los módulos D en la teoría de la representación, este es un lugar fundamental en el que se fuerza ese cambio, independientemente de pensar en los productos internos. Esta es, en particular, una forma de ver por qué aparece en la fórmula de caracteres de Weyl, a través de la prueba geométrica vía Atiyah-Bott o a través de la resolución BGG, ambas implican la geometría de la variedad bandera.

Answer 3

En realidad es una pregunta bastante profunda. Su sospecha de que puede haber múltiples respuestas es correcta, pero podría haber algunas conexiones sorprendentes entre respuestas aparentemente no relacionadas. Permítame dar un posible hilo de explicación. El principio subyacente es que la aparición de $\rho$ y la acción "punto" $w\cdot\lambda=w(\lambda+\rho)-\rho$ en la teoría de la representación está estrechamente relacionada con la geometría de la variedad bandera.

Uno de los primeros lugares donde uno se encuentra $\rho$ (y la acción del punto) está en el Fórmula del carácter de Weyl . A teorema de Kostant muestra que la fórmula puede escribirse como el cociente de dos características de Euler de la cohomología del álgebra de Lie. Desde esta perspectiva, el aspecto $w \cdot \lambda$ y $w\cdot0$ en el WCF se explica en última instancia por el hecho de que estos son los pesos que aparecen en la descomposición del espacio de pesos de los módulos de cohomología del álgebra de Lie correspondiente, a saber $H^*(\mathfrak n, V^\lambda)$ y $H^\ast(\mathfrak n, V^0)$ , donde $\mathfrak n = \bigoplus_{\alpha>0} \mathfrak g_\alpha$ y $V^\mu$ denota el irrep de mayor peso $\mu$ .

Podemos replantear esto en términos geométricos invocando el "análogo geométrico" del teorema de Kostant, es decir, el Teorema de Borel-Weil-Bott . La descripción de Kostant de la cohomología del álgebra de Lie de $\mathfrak n = \mathfrak g /\mathfrak b^-$ con coeficientes en un irrep se traduce en una descripción teórica de la representación de la cohomología del haz de líneas $L_\lambda$ (construido con pesos integrales $\lambda$ ) sobre la variedad de bandera $G/B^-$ de $\mathfrak g$ . En consecuencia, la acción del punto aparece en esta descripción, y esta vez va acompañada de un cambio de grado. Esto, a su vez, puede explicarse por la dualidad de Serre; el hecho clave es que el haz canónico de $G/B^-$ resulta ser $L_{-2\rho}$ .

Así que, en cierto sentido, la aparición de $\rho$ y la acción del punto en el WCF puede considerarse como una manifestación de la dualidad de Serre.

[ N.B. Esta es una versión resumida de mi larga respuesta original. La versión antigua se puede encontrar en el editar la historia .]

Answer 4

Aunque aprecio la respuesta de Dave Ben-Zvi sobre las medias densidades, voy a la opinión contraria de que es en gran medida un artefacto de contabilidad.

El lugar más familiar que $\rho$ aparece es en el WCF de la irrep $V$ con mayor peso $\lambda$ , $$ Tr(t|_{V}) = \frac{\sum_w t^{w(\lambda+\rho)-\rho}}{\prod_{\Delta_+} (1-t^{-\beta})}. $$

Esta versión de WCF es buena para sugerir la existencia de la resolución BGG, o para tomar la transformada de Fourier y obtener la fórmula de multiplicidad de Kostant de Kostant. Pero por lo demás, afirmo que es la peor manera de escribirlo, y sugiero en su lugar $$ Tr(t|_V) = \sum_w w \cdot \frac{t^{\lambda}}{\prod_{\Delta_+} (1-t^{-\beta})}. $$ Hurra, es manifiestamente $W$ -invariante, y no $\rho$ ¡a la vista! Esta es la versión natural que se obtiene aplicando la fórmula de localización Atiyah-Bott-Riemann-Roch-Lefschetz Woods Hole de Woods Hole a la variedad de banderas $G/B$ como mencionan A&B en su documento.

Se nota mucho si se intenta escribir un WCF para pesos no regulares, que corresponde a la aplicación de la fórmula de localización a un parcial de la bandera $G/P$ . Entonces ya no se pueden voltear los pesos para poner todo sobre el mismo denominador, por lo que la primera versión está malograda. La segunda, $W$ -invariante, versión funciona bien en este caso (el denominador es un producto sobre sólo una parte de $\Delta_+$ ).

EDIT: Supongo que es demasiado fuerte decir que está muy roto. Es sólo que no está en los términos más bajos.

Answer 5

Bueno, nadie ha hablado aún explícitamente de la relevancia de las estructuras de giro en esta historia, así que he aquí un esbozo de la historia tal y como yo la entiendo. Para referencias ver, por ejemplo, el nLab . Ignoraré alegremente la diferencia entre la teoría K algebraica y la topológica, y $B$ denota un Borel positivo.

A grandes rasgos, la historia de Borel-Weil-Bott consiste en construir representaciones de $G$ induciéndolos de $1$ -representaciones dimensionales de $B$ . Un avatar geométrico de una representación de dimensión finita de $B$ es un $G$ -en un haz vectorial equivariante en $G/B$ de hecho, se trata de una equivalencia de categorías, por lo que existe un isomorfismo natural

$$K_G(G/B) \cong K_B(\text{pt}) \cong R(B)$$

de la teoría K equivariante $K_G(G/B)$ al grupo Grothendieck de representaciones de dimensión finita de $B$ . Del mismo modo, existe un isomorfismo natural

$$\text{Pic}_G(G/B) \ni L_{\lambda} \leftrightarrow \lambda \in \Lambda$$

del grupo de $G$ -haces de líneas equivariantes en $G/B$ al grupo de $1$ -representaciones dimensionales de $B$ que a su vez puede identificarse con la red de pesos $\Lambda$ .

En este lenguaje, la inducción puede interpretarse como un intento de construir un pushforward

$$K_G(G/B) \to K_G(\text{pt}) \cong R(G)$$

en la teoría K equivariante de $G/B$ a un punto; estos tipos de pushforwards son un lenguaje para hablar de la cuantización geométrica. En geometría algebraica, el empuje hacia delante en la teoría K hasta un punto viene dado por la cohomología de gavillas, y Borel-Weil-Bott nos dice exactamente lo que ocurre cuando empujamos hacia delante haces de líneas equivariantes de esta manera.

Sin embargo, podríamos preguntarnos cómo podemos tomar pushforwards en la teoría K puramente topológica. Recordemos, por ejemplo, que podemos tomar el pushforward en cohomología de un mapa entre variedades orientadas compactas utilizando la dualidad de Poincare. La afirmación análoga para la teoría K real o compleja es que podemos tomar el avance de un mapa entre variedades orientadas compactas equipadas con estructura de espín o espín complejo. En ambos casos, el empuje hacia un punto viene dado por el índice de un operador de Dirac adecuado. Creo que todo esto sigue siendo cierto de forma equivariante.

El hecho feliz del entorno algebro-geométrico es que las estructuras casi complejas inducen canónicamente estructuras de espín complejas; el operador de Dirac correspondiente se construye a partir del operador de Dolbeault, y con hipótesis adecuadas el pushforward a un punto se da tomando la cohomología de gavilla calculada como cohomología de Dolbeault.

¿Qué importancia tiene el vector de Weyl en esta historia? Cualquier estructura de espín compleja tiene asociado un haz de líneas complejo canónico $\omega$ . Si partimos de una estructura casi compleja, entonces $\omega$ es el haz canónico. Entonces una elección de estructura de espín compatible con una estructura de espín compleja es equivalente a una elección de raíz cuadrada $\sqrt{\omega}$ . En nuestro caso, bajo la identificación de $G$ -de los haces vectoriales equivariantes en $G/B$ con representaciones de $B$ tenemos

$$T(G/B) \mapsto \mathfrak{g}/\mathfrak{b}$$

donde esta última tiene la acción adjunta de $B$ . Esto se descompone en una suma directa de $1$ -espacios de peso de dimensión, uno para cada raíz negativa, y por lo tanto bajo la identificación de $G$ -haces de líneas equivariantes en $G/B$ con la red de pesos $\Lambda$ tenemos

$$\omega \mapsto 2 \rho.$$

Desde $\Lambda$ es libre de torsión, la clase de isomorfismo de la raíz cuadrada $\sqrt{\omega}$ es único, y como elemento de $\Lambda$ es precisamente $\rho$ .

Así que $\rho$ es especial en esta historia porque representa la raíz cuadrada única del haz canónico. Desde esta perspectiva, la acción de punto

$$w \cdot \lambda = w (\rho + \lambda) - \rho$$

surge naturalmente de la siguiente manera. Las estructuras de espín complejas son canónicamente un torsor sobre haces de líneas complejas; si $L$ es un haz de líneas complejo, la acción sobre las estructuras de espín complejas modifica el haz canónico por

$$\omega \mapsto \omega \otimes L^{\otimes 2}.$$

Vuelvo a creer que esto sigue siendo cierto de forma equitativa, por lo que $G$ -estructuras de espín complejas equivariantes en $G/B$ son canónicamente un torsor sobre la red de pesos $\Lambda$ . Así que podemos identificar no canónicamente a los dos a través de

$$\lambda \mapsto \omega \otimes L_{\lambda}^{\otimes 2} \mapsto 2 \rho + 2 \lambda$$

donde $\omega \otimes L_{\lambda}^{\otimes 2}$ denota una estructura de espín compleja, no sólo el correspondiente haz de líneas canónico (y en particular puede ser diferente de la estructura de espín compleja dada por $\omega$ incluso si $L_{\lambda}^{\otimes 2}$ es trivial, aunque eso no ocurre aquí). Si $\lambda \in \Lambda$ es un peso, el pushforward de $L_{\lambda}$ con respecto a $\omega$ puede identificarse con el pushforward del haz de líneas trivial con respecto a $\omega \otimes L_{\lambda}^{\otimes 2}$ .

Ahora escoge un compacto máximo $K$ e identificar $G/B$ con $K/T$ , donde $T = K \cap B$ es un toro maximal en $K$ . Entonces el grupo de Weyl $W = N_K(T)/T$ actúa naturalmente sobre $K/T$ de hecho, es precisamente la $K$ -grupo de automorfismo equivariante de $K/T$ . Esto induce una acción sobre $K$ -equivariante de haces de líneas, identificados con caracteres de $T$ identificada con la red de pesos $\Lambda$ , que es la acción habitual sin puntos.

El grupo de Weyl también actúa sobre $K$ -estructuras de espín complejas equivariantes en $K/T$ y esta acción es compatible con la estructura torsor anterior, así como con el mapa que envía una estructura de espín compleja a su haz canónico. Es pas compatible con la identificación no canónica entre $K$ -estructuras de espín complejas equivariantes y $\Lambda$ arriba: en su lugar, escribir $2 \rho + 2 \lambda$ para la estructura compleja de espín correspondiente a $\omega \otimes L_{\lambda}^{\otimes 2}$ la acción del grupo de Weyl es

$$w(2 \rho + 2 \lambda) = 2 \rho + 2 \left( w(\rho + \lambda) - \rho \right)$$

y utilizando de nuevo la identificación no canónica recuperamos precisamente la acción del punto Así que, para resumir:

Geométricamente, mientras que la acción habitual de $W$ en $\Lambda$ es la acción natural de $W$ en $K$ -haces de líneas complejas equivariantes en $K/T$ la acción del punto es la acción natural sobre $K$ -estructuras de espín complejas equivariantes en $K/T$ el vector de Weyl $\rho$ aparece al relacionarlos porque corresponde a un distinguido $K$ -equivariante de la estructura de espín complejo asociada a una elección de raíces positivas. Es el pushforward en la teoría K con respecto a tales estructuras de espín lo que nos permite construir representaciones de $K$ de las representaciones de $T$ .