¿Existe un subgrupo propio cerrado bajo automorfismo?

Question

Mientras resolvía los deberes de mi curso de Álgebra Moderna, me encontré con este problema:

Si $H < G$ y $\forall \sigma \in \mathrm{Aut}(G), \; \sigma[H] = H$ entonces $H \lhd G$

Aunque el problema es bastante trivial, me parece que si un subgrupo es cerrado bajo automorfismo, entonces no sólo $H \lhd G$ pero $H = G$ se mantendrá, ya que $H$ también debería estar cerrado bajo permutaciones como $\sigma = (1)(2, 3, \cdots, |G|)$ . ¿Es correcto mi pensamiento?

Answer 1

Los subgrupos $H$ en el problema se llama característica subgrupo, y el problema es preguntar si los subgrupos característicos son normales. Esto es cierto, considerando los automorfismos internos.

La pregunta que se plantea entonces es: ¿los subgrupos característicos son siempre el grupo completo?

No. En particular, el subgrupo trivial es siempre característico.

También suele haber ejemplos no triviales. Por ejemplo, es un buen ejercicio demostrar que todo subgrupo generado por palabras de cualquier forma especificada será característico. Los ejemplos incluyen palabras de la forma $g^{-1}h^{-1}gh$ (este es el subgrupo derivado y aquí el grupo cociente es abeliano), y también palabras de la forma $g^n$ para algún exponente fijo $n$ (aquí el grupo cociente tiene exponente $n$ ).

Answer 2

Existe una jerarquía de subconjuntos de un grupo $G$ :

1. Subconjuntos . Sólo pido que se contenga en $G$ .
2. Subgrupos . Pedimos que sean grupos con la operación inducida.
3. Subgrupos normales . Un subgrupo $H$ tal que $gHg^{-1}=H$ para todos $g\in G$ ; de forma equivalente, un subgrupo $H\leq G$ tal que $\varphi(H)=H$ para todos interior automorfismos de $G$ .
4. Subgrupos característicos. Un subgrupo $H$ tal que $\varphi(H)=H$ para todo automorfismos de $G$ (los subgrupos que está considerando).
5. Subgrupos totalmente invariantes . Un subgrupo $H$ tal que $\varphi(H)\subseteq H$ para todos endomorfismos $\varphi\in\mathrm{End}(G)$ .
6. Subgrupos verbales . Subgrupos generados por los valores de una colección de palabras; de forma equivalente, especificar un subconjunto $V$ de un grupo libre $F$ y considerar el subgrupo $\langle f(V)\mid f\colon F\to G\text{ is a homomorphism}\rangle$ . Estos tienen la propiedad adicional de que si denotamos el subgrupo de $G$ correspondiente a $V$ por $V(G)$ entonces para cualquier homomorfismo $\varphi\colon G\to M$ tenemos $\varphi(V(G))\subseteq V(M)$ .

Si $H$ es un subconjunto del tipo $k$ arriba, entonces también es de todos los tipos $\ell\leq k$ . Así, un subgrupo totalmente invariante es característico es normal es un subgrupo es un subconjunto.

Ninguno de los conceptos coincide: hay subconjuntos que no son subgrupos, subgrupos que no son normales, subgrupos normales que no son característicos, subgrupos característicos que no son plenamente invariantes y subgrupos plenamente invariantes que no son verbales. Además, siempre podemos encontrar ejemplos en los que los subgrupos en cuestión son propios y no triviales.

Ejemplos.

1. Un subconjunto que no es un subgrupo: toma $G=\{1,x\}$ sea cíclico de orden $2$ y tomar $S=\{x\}$ .

2. Un subgrupo que no es normal: El ejemplo más pequeño es tomar $G=S_3$ y que $H=\{e,(12)\}$ .

3. Un subgrupo normal que no es característico: Sea $G=C_2\times C_2$ sea el Klein $4$ -grupo. Cualquier subgrupo de orden $2$ es normal (porque $G$ es abeliano), pero ninguno de ellos es característico, ya que el automorfismo de $G$ que envía $(x,e)$ a $(x,x)$ y $(e,x)$ a $(x,e)$ baraja los tres subgrupos de orden $3$ .

4. Un subgrupo característico que no es totalmente invariante: Tomemos $G=S_3\times C_3$ el centro de este grupo es $\{e\}\times C_3$ y no es difícil comprobar que cualquier automorfismo de un grupo debe enviar el centro al centro. Así que el subgrupo $\{e\}\times C_3$ es característico. Sin embargo, hay un endomorfismo de $G$ que envía $(\tau,x^n)$ a $(\sigma^n,e)$ , donde $\tau$ es un elemento arbitrario de $S_3$ y $\sigma=(123)$ . Este endomorfismo no envía $\{e\}\times C_3$ a sí mismo, por lo que se trata de un subgrupo característico que no es totalmente invariante.

5. Un subgrupo totalmente invariante que no es verbal (en un grupo libre, todo subgrupo totalmente invariante es verbal, pero en los grupos generales esto no tiene por qué ser así, como muestra este ejemplo). Esto es un poco complicado, pero aquí está el ejemplo más pequeño: dejemos que $G$ sea el grupo semidihédrico de orden $16$ , $$G=\langle x,s\mid x^8=s^2=e, sx=x^3s\rangle.$$ Este grupo contiene una copia del grupo diedro de orden $8$ generado por $x^2$ y $s$ ya que $sx^2 = x^6s=(x^2)^{-1}s$ . Se puede demostrar que este subgrupo es totalmente invariante pero no verbal.