Cortar la variable aleatoria exponencial

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria exponencial con parámetro (media) $\mu = 2$ su densidad viene dada por $$f(x)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}, \quad \text{for } x > 0$$ Para $K > 0$ definir una función $\mathrm{sat}_{K}$ que corta los valores en el nivel $K$ por $$\mathrm{sat}_{K}(x) = \begin{cases} x, & \text{if}\ x \leq K, \\ K, & \text{if}\ x > K, \end{cases}$$ y que $Y_K = \mathrm{sat}_{k}(X)$ . Calcular explícitamente la función de distribución $F_Y$ de $Y_K$ y dibujarla. ¿Qué tipo de variable aleatoria es $Y_K$ ?

Answer 1

Si $y\ge K$ tienes $$ F_{Y_K}(y)=P\{Y_K\le y\}=P\{X\in\mathbb{R}\}=1 $$ desde $Y_K\le K\le y$ para cualquier valor de $X$ . Ahora bien, si $y\le K$ , $$ F_{Y_K}(y)=P\{Y_K\le y\}=P\{X\le y\}=F_X(y)=1-e^{-y/2} $$ así que básicamente estás creando un salto en tu función de distribución en $y=K$ .