Comprensión de un paso en un cálculo con base dual y permutaciones

Question

Desde $\varphi_{i_j} \in \mathcal{T}(\mathbb{R}^n)$ para cada $j = 1, \dots, k$ tenemos

\begin{align*} \varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\varphi_{i_k}(e_{i_1}, \dots, e_{i_k}) &= \frac{k!}{1!\dots 1!}\operatorname{Alt}(\varphi_{i_1}\otimes\dots\otimes\varphi_{i_k})(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\\ &= \sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\varphi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)})\dots\varphi_{i_k}(e_{\sigma(i_k)})\\ &= 1. \end{align*}

No entiendo la línea final. ¿Por qué es $\phi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)}) = 1$ por ejemplo? Pensé que $\phi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)}) = 1$ si $\sigma(i_1) = i_1$ .

Answer 1

Como usted señala, $\varphi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)}) = 1$ si y sólo si $\sigma(i_1) = i_1$ y es cero en caso contrario. Asimismo, para cada $j = 1, \dots, k$ , $\varphi_{i_j}(e_{\sigma(i_j)}) = 1$ si y sólo si $\sigma(i_j) = i_j$ y es cero en caso contrario.

Ahora, observe que el producto $\varphi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)})\dots\varphi_{i_k}(e_{\sigma(i_k)})$ es cero si alguno de los factores es cero. La única manera de que el producto no sea cero es si todos los factores son iguales a $1$ , lo que sólo ocurre si $\sigma(i_1) = 1, \dots, \sigma(i_k) = i_k$ (es decir $\sigma$ es la permutación de identidad, $\operatorname{id}$ ). Así que la suma en la penúltima línea sólo tiene un sumando distinto de cero que es el asociado a la permutación de identidad. Como la firma de la permutación de identidad es $1$ vemos que

$$\sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\varphi_{i_1}(e_{\sigma(i_1)})\dots\varphi_{i_k}(e_{\sigma(i_k)}) = \operatorname{sgn}(\operatorname{id})\varphi_{i_1}(e_{i_1})\dots\varphi_{i_k}(e_{i_k}) = 1.$$