¿Qué es lo menos $k > 0$ tal que todo polígono convexo de área $k$ contiene un rectángulo de área 1?
Puedo demostrar que $k \le 8$ pero seguro que esto se puede mejorar. Dejemos que $\mathcal{C}$ sea un polígono convexo de área 8, y sea $\overline{PQ}$ sea un diámetro de $\mathcal{C}$ . Existe un rectángulo delimitador $ABCD$ tal que $\overline{AB}$ es paralelo a $\overline{PQ}$ . El segmento de línea $\overline{PQ}$ divide $ABCD$ en dos rectángulos, al menos uno de los cuales tiene área 4 o mayor.
Supongamos sin pérdida de generalidad que el área de $PQBA$ es al menos 4, y que $R$ sea un punto donde $\mathcal{C}$ se encuentra con $\overline{AB}$ . Entonces el área del triángulo $PQR$ es al menos 2, y el mayor rectángulo inscrito en $PQR$ tiene un área de al menos 1.
Actualización: Andrés Koropecki señaló el siguiente teorema de W. Blaschke. Sea $K$ es un cuerpo convexo en $\mathbb{E}^2$ y que $T$ sea un triángulo con el área máxima entre todos los triángulos contenidos en $K$ . Entonces $\frac{\mathrm{Area}(T)}{\mathrm{Area}(K)} \ge \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$ con igualdad si $K$ es una elipse. Esto implica que mi constante $k$ es como máximo $\frac{8\pi}{3\sqrt3} \approx 4.837$ .
Actualización 2: Bertram Felgenhauer ha tenido la amabilidad de mostrarme una prueba de que $k \le 4$ . Lo publicaré más tarde.
