Si $d=\gcd\,(f(0),f(1),f(2),\cdots,f(n))$ entonces $d|f(x)$ para todos $x \in \mathbb{Z}$

Question

• $\textbf{Question.}$ Dejemos que $f$ sea un polinomio de grado $n$ que sólo toma valores integrales. Si $d=\gcd\,\{f(0),f(1),f(2),\cdots,f(n)\}$ entonces demuestre que $d|f(x)$ para todos $x \in \mathbb{Z}$ .

• Cómo se puede mostrar esto. Está claro que si $f$ tiene grado $1$ entonces $f(x)=a_{0}+a_{1}x$ . Es evidente que tenemos $d|a_{0}$ y $d|a_{0}+a_{1}$ por lo que tenemos $d\mid a_{1}$ , esto dice $d\mid f(x)$ para todos $x \in\mathbb{Z}$ . Así que si $f$ tiene grado $1$ Entonces soy capaz de probar la pregunta.

• Ahora bien, si tomo un polinomio de grado $2$ , dice $f(x) = ax^{2}+bx+C$ entonces obtengo lo siguiente. $d|c$ , $d|a+b+c$ y $d|4a+2b+c$ . Así que obtenemos $d|a+b$ que dice $d|2a+2b$ que junto con $d|4a+2b$ da $d|2a$ . Del mismo modo, $d|2b$ . He terminado si soy capaz de mostrar $d|a$ y $d|b$ pero no soy capaz de deducirlo.

Una solución elaborada sería útil.

Answer 1

Tenga en cuenta que $d$ divide $\gcd(f_0,f_1,f_2)$ si $d$ divide $f_0,f_1,f_2$ . (Estoy usando $f_k=f(k)$ para simplificar).

Utilizando diferencias repetidas obtenemos $$ \begin{array}{lll} f_0 & f_1 & f_2 & \\ f_1-f_0 & f_2-f_1 \\ f_2-2f_1+f_0 \\ 0 \\ \end{array} $$ Fórmula de interpolación de Newton entonces nos da $$ f(n) = f_0 \binom{n}{0} + (f_1-f_0) \binom{n}{1} + (f_2-2f_1+f_0) \binom{n}{2} $$ Por lo tanto, si $d$ divide $f_0, f_1, f_2$ entonces $d$ divide $f(n)$ para todos $n$ . (Y a la inversa, por supuesto).

En el caso general, $$ f(n) = d_0 \binom{n}{0} + d_1 \binom{n}{1} + d_2 \binom{n}{2} + d_3 \binom{n}{3} +\cdots $$ donde $d_i$ son los números de la primera columna de la matriz de diferencias repetidas. Está claro que el $d_i$ son combinaciones lineales enteras de los $f_i$ y por lo tanto si $d$ divide todo $f_i$ entonces $d$ divide todo $d_i$ y así todos $f(n)$ .

Por cierto, la fórmula de interpolación de Newton también demuestra que un polinomio toma valores integrales en los enteros si es una combinación lineal entera de los polinomios del binomio. Véase Polinomio de valor entero .

Answer 2

Pista: Lo estás haciendo muy bien. Pero hasta ahora, has trabajado con la suposición de que $d$ divide $f(0), f(1), f(2)$ en el caso cuadrático. Pero lo que se da es que divide la gcd de estos artículos.

Nunca has usado la parte "gcd" .

Tal vez quieras pensar un poco en eso con la esperanza de que se resuelva el caso cuadrático, momento en el que el caso más general puede parecer más obvio.

(Sí, ya sé que has pedido una solución completamente elaborada, pero he optado por escribir sólo esta pista).