¿Por qué es $\nabla \times (f(r) \vec r) = 0$ ?

Question

Con $r=\lvert \vec r\rvert$

Sé cómo trabajar con $\nabla$ pero no sé cómo lidiar con $f(r) \vec r$ ... ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Esto es sólo un cómputo. Intenta directamente, como ejemplo, calcular el primer componente:

$$(\nabla f(r)\vec r)_x= \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}f(r)z-\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}f(r)y $$

desde

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}f(r)=f'(r)\displaystyle\frac{y}{r} $$

y similares

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}f(r)=f'(r)\displaystyle\frac{z}{r} $$

entonces

$$(\nabla f(r)\vec r)_x=f'(r)\displaystyle\frac{zy}{r}-f'(r)\displaystyle\frac{yz}{r}=0$$

De la misma manera se pueden calcular los otros componentes.