Demostrar que $IP \perp CQ$ .

Question

Considere $I$ siendo el incentre de $\triangle ABC$ . $IF \perp AB$ ( $F \in AB$ ). $AI$ extendida intersecta el círculo de $\triangle ABC$ en $D$ ( $D \not\equiv A$ ) y $AD \cap BC = \{K\}$ . $DF$ intercepta la circunferencia de $\triangle ABC$ y $\triangle BKD$ respectivamente en $Q$ y $P$ . Demostrar que $IP \perp CQ$ .

He demostrado que $KP \parallel CQ$ .

Dejemos que $BC \cap QD = \{E\}$ . Tenemos que $ED \cdot EP = EB \cdot EK$ y $ED \cdot EQ = EB \cdot EC$ .

$$\implies \dfrac{EP}{EQ} = \dfrac{ED \cdot EP}{ED \cdot EQ} = \dfrac{EB \cdot EK}{EB \cdot EC} = \dfrac{EK}{EC}$$

Utilizando el teorema del intercepto para $\triangle ECQ$ y $\dfrac{EP}{EQ} = \dfrac{EK}{EC}$ tenemos que $KP \parallel CQ$ .

He intentado demostrar que $KP \perp PI$ demostrando $\widehat{KHB} = \widehat{PIF}$ donde $KP \cap AB = \{H\}$ . Pero no funcionó.

Les agradecería que resolvieran el problema.

Answer 1

Demostremos que $IP \perp PK$ ya que, efectivamente $PK || CQ$ . (porque $\angle DPK= \angle DBK =$ la mitad de la medida del arco CD $= \angle DQC$ )

Considere un inversión centrado en D con radio DB. Denotaré por $T'$ la imagen del punto $T$ bajo esa inversión.

$B'=B$ , $C'=C$ , $I'=I$ (esto último se debe al llamado "lema del trillium", es decir, $DI=DB=DC$ )

La línea BC después de la inversión se convierte en el círculo circunscrito de $ABC$ . Así que, $K' = A$ .

El círculo $BPKD$ se convierte en una línea que pasa por $B'=B$ y $K' = A$ Así que, $P' = F$ .

Ahora, sabemos que $F$ se encuentra en el círculo de diámetro $AI$ . La imagen de ese círculo bajo nuestra inversión es el círculo con diámetro $KI$ . Hemos terminado, ya que $F' = P$ .