A continuación, el extracto de este enlace para demostrar la siguiente proposición.
Propuesta $\ $ Dejemos que $A$ sea una matriz cuadrada sobre un campo arbitrario con todas las sumas de filas y columnas nulas. Entonces todos los cofactores de $A$ son iguales.
Prueba $\ $ Dejemos que $A$ sea $n × n$ y que $J$ sea la matriz todo-1 de tamaño $n × n.$ Evaluamos $\det(A + J)$ realizando operaciones de fila y columna. Distinguimos la primera fila y columna para simplificar, pero lo mismo se aplica a cualquier fila y columna. Hacemos lo siguiente:
- Añade todas las demás filas de $A + J$ a la primera. Entonces cada entrada de la primera es n, mientras que las otras filas no se ven afectadas.
- Añade todas las demás columnas a la primera. En el resultado, el $(1, 1)$ La entrada es $n$ 2 ; todas las demás entradas de la primera fila y columna son $n$ y el resto de entradas no se ven afectadas.
- Saca un factor n de la primera fila.
- Resta la primera fila de cada una de las otras filas. El $(1, 1)$ La entrada de el resultado es $n;$ las entradas restantes de la primera columna son cero; y las entradas que no están en la primera fila o columna son precisamente las de $A,$ desde restamos $1$ de cada uno de ellos.
Así, $\det(A + J) = n$ 2A11, donde A11 es el $(1, 1)$ cofactor de $A.$ Como ha señalado se ha comentado, lo mismo se aplica a cualquier cofactor; esto demuestra que todos los cofactores son iguales.
Estoy tratando de cambiar esta prueba para demostrar un caso más general, donde sólo la suma de filas es cero.
Estoy siguiendo las líneas de la prueba anterior pero no puedo entender el paso en negrita, que dice "Sacar un factor n".
¿Cómo? factor n ¿se define?