Primero presentaré una prueba de que dos funciones $f$ y $g$ cuya serie de potencias en $l$ y $L$ respectivamente son iguales (como sumas formales) admitirán $f(l) = g(L)$ .
A continuación, utilizaré esta prueba para demostrar que lo mismo es cierto no sólo para las series de potencias, sino para las expansiones de Taylor en general. Si no me equivoco, esto es todo lo que una continuación analítica es realmente - una expansión de taylor infinitamente larga.
Terminaré con una conclusión que aborda directamente su pregunta.
Asumo a lo largo de esta prueba que $f$ y $g$ son funciones analíticas.
Demostración de que dos funciones cuyas series de potencias en los puntos $l$ y $L$ son idénticos admitirán los mismos valores cuando se evalúen en esos puntos:
Supongamos que tenemos dos funciones definidas en términos de sus series de potencias: $$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots$$ $$g(z) = b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + \dots$$ No nos preocupa la convergencia de estas series; piensa en ellas como sumas formales.
Si los términos de las dos series de potencias en $l$ y $L$ coinciden respectivamente ( $a_n l^2 = b_n L^2 \; \forall n \in \mathbb N_0$ ) entonces tenemos eso: $$\frac{a_n}{b_n} = \frac {L^n}{l^n}$$ Consideremos ahora que la serie de potencias puede expresarse de forma equivalente como una serie de derivadas de las funciones: $$a_n = \frac 1 {n!} \frac {d^n}{dz^n} f(z)$$ $$b_n = \frac 1 {n!} \frac {d^n}{dz^n} g(z)$$ Ahora voy a definir una nueva función $h(z) = f\left(\frac l L z \right)$ . Veamos la serie de potencias de esta función con coeficientes $c_n$ : $$c_n = \frac 1 {n!} \frac {d^n}{dz^n} h(z) = \frac 1 {n!} \frac {d^n}{dz^n} f\left(\frac l L z\right) = \frac 1 {n!} \frac {l^n}{L^n} \frac {d^n}{dx^n}f(x)$$ Nota algo: $$\frac {a_n}{c_n} = \frac {L^n}{l^n}$$ Esto significa que $h(z) = f \left( \frac l L z \right)$ tiene la misma serie de potencias que $g(z)$ ¡! Así, $g(z) = f \left( \frac l L z \right)$ lo que a su vez implica que $g(L) = f(l)$ .
Así, dos funciones cualesquiera $f$ y $g$ con series de potencias iguales cuando se evalúan en los puntos $l$ y $L$ respectivamente tendrán los mismos valores analíticamente continuados $f(l)$ y $g(L)$ .
Prueba de que dos funciones $f$ y $g$ cuya serie taylor en puntos $l$ y $L$ respectivamente son idénticos admitirán $f(l) = g(L)$ :
Supongamos ahora que ampliamos $f$ alrededor de $x$ y $g$ alrededor de $y$ . Denotaré la serie formal de $f(z)$ ampliado sobre $x$ como $f_x\{z\}$ . $$f_x\{z\} = f(x) + a_1 (z - x) + a_2 (z-x)^2 + \dots$$ $$g_y\{z\} = g(y) + b_1 (z-y) + b_2 (z-y)^2 + \dots$$ Ahora dejemos que $F(z) = f(z + x)$ con $F_0\{z\} = f(x) + c_1z + c_2 z^2 + \dots$
Ahora $c_n$ es por definición $\frac {d^n} {dz^n} F(z) |_{z=0}= \frac {d^n} {dz^n} f(z + x) |_{z=0} = \frac {d^n} {dz^n} f(z) |_{z=x} = a_n$ . Así que tenemos eso: $$\forall n, \quad c_n = a_n \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad F_0\{z-x\} = f_x\{z\}$$
Podemos definir $G(z) = g(z +y)$ y llegar a la misma conclusión: $$G_0\{z-y\} = g_y\{z\}$$
Supongamos ahora que $f_x\{l\} = g_y\{L\}$ para algunos $l,L \in \mathbb C$ . Entonces: $$F_0\{l-x\} = f_x\{l\} = g_y\{L\} = G_0\{L-y\}$$ $$F_0\{l-x\} = G_0\{L-y\}$$
Ahora tenemos que la serie de potencias de las dos funciones $F$ y $G$ coinciden en $z=l-x$ y $z=L-y$ respectivamente. Ahora puedo hacer uso del trabajo esbozado anteriormente y concluir: $$G(z) = F \left( \frac {l-x}{L-y} z \right)$$ $$\Updownarrow$$ $$g(z + y) = f\left(\frac{l-x}{L-y} z + x\right)$$ $$\Updownarrow$$ $$g(z) = f\left(\frac{l-x}{L-y} (z - y) + x \right)$$ A partir de aquí podemos ver cómo se desarrolla nuestra respuesta: $$g(L) = f(l)$$
En conclusión:
Así que para responder directamente a tu pregunta, creo que cualquier expresión de la serie de Taylor para una función $f$ en un punto del plano complejo que tenga términos iguales a la serie de Grandi admitirá una extensión analítica que asigne el valor $\frac 1 2$ hasta ese punto.
Me preguntaba lo mismo que tú: ¿renormalizamos las sumas con valores particulares (es decir, la serie de Grandi $ = \frac 1 2$ ) porque cada vez que esa suma se produce en una extensión analítica, es la misma? Eso parece.
Convenientemente, esto nos permite asignar un valor a algunas sumas formales no convergentes $ \sum_{n=1}^\infty a_n$ mediante la elaboración de una función con la serie de potencias: $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$$ Extendiendo analíticamente esta función para encontrar el valor de $f(1)$ nos dará el valor renormalizado de la suma.
