Algunos conceptos de $C^*$ -álgebra generalizada a partir del álgebra lineal. ¿Puede alguien ayudarme a comprobar si son correctas, y dar algunos ejemplos?

Question

Un álgebra de Banach no es más que un espacio de Banach dotado de una operación de multiplicación definida tal que $\|a b\| \le \|a\|\|b\|$ para todos $a,b$ en él. Si, además, existe una identidad, entonces se convierte en un álgebra de Banach unital. Podemos considerar el espacio de todos los $n$ por $n$ matrices como un álgebra de Banach unital.

A $C^*$ -es un álgebra de Banach dotada de una involución conjugada-lineal, por ejemplo $*$ , de tal manera que $(ab)^*=b^*a^*$ y $\|a^*a\|=\|a\|^2$ . De nuevo, se llama unital $C^*$ -si existe una identidad. El espacio de todos $n$ por $n$ matrices también pertenece a un unital $C^*$ -Álgebra.

Un elemento $a$ en unital $C^*$ -se llama

1. isometría si $a^* a = 1$ ...por ejemplo, ... ¿algún ejemplo apropiado?
2. coisometría si $a a^* = 1$ ...por ejemplo, ... ¿algún ejemplo apropiado?
3. unitario si $a^* = a^{-1}$ por ejemplo, la matriz unitaria.
4. normal si $a^*a = a a^*$ ...por ejemplo, ... ¿algún ejemplo apropiado?
5. autoadjunto si $a = a^*$ por ejemplo, la matriz hermitiana.

Answer 1

En una dimensión finita de C $^*$ -álgebra, isometría, coisometría y unitario son lo mismo. Unitario implica normal. Autoadjunto implica normal. Se pueden obtener todos los ejemplos en uno tomando $a$ para ser la matriz de identidad.

Un unitario no autoadjunto es, por ejemplo $$u=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}.$$