Hace algún tiempo estaba revisando mis conocimientos sobre QFT y me encontré con la cuestión de los fantasmas de Faddeev-Popov. En la época en la que estudiaba estos temas, utilicé el libro de Faddeev y Slavnov, pero la explicación allí no es muy transparente, especialmente para alguien como yo que estaba empezando a aprender QFT. Por lo tanto, nunca entendí del todo lo que se quería decir. Para aclarar mis dudas sobre cómo funciona el método y qué son las órbitas gauge, decidí pensar cómo funcionaría el método en un simple problema de juguete.
La transformación Gauge local en el caso no abeliano actúa de forma no lineal, es decir
$$ F[\mathscr{A}_{\mu}] = g\mathscr{A}_{\mu}g^{-1} + g_{\mu}g_{\mu}^{-1} $$
Ya que en el funcional generador integramos sobre los campos,
$$ Z=\int \mathcal{D}\mathscr{A}_{\mu}e^{iS[\mathscr{A}_{\mu}]} $$
se introduce la doble contabilidad, debido a la integración sobre muchos campos equivalentes generados por la transformación local de Gauge. Para solucionar esto L.D. Faddeev y V. Popov propusieron introducir la restricción de la transformación de Gouge en la forma:
$$ \Delta_L(\mathscr{A}) \int \delta(F[\mathscr{A}_{\mu}^{\omega}])d\omega=1 $$ Hay diferentes métodos para conseguir $\Delta_L(\mathscr{A})$ pero creo que la más sencilla es utilizar sólo la definición de la función delta. Por supuesto, utilizando las propiedades de la medida de Haar, la expresión anterior es invariante Gauge. Digamos que $U(1)$ con $\omega=e^{i\phi}$ esto se puede comprobar utilizando el $U'$
$$ \mathcal{D}\omega\omega' = \mathcal{D}\omega, $$
que, en mi opinión, es sólo la regla del producto.
Introduciendo el funcional generador obtenemos
$$ Z=\iint \mathcal{D}\mathscr{A}_{\mu} d \omega \Delta_L(\mathscr{A}) \delta(F[\mathscr{A}_{\mu}^{\omega}])e^{iS[\mathscr{A}_{\mu}]}, $$
que produce un factor de volumen multiplicativo.
Ahora viene mi pregunta, cómo usamos esto en un problema de juguetes. Supongamos que integramos
$$ I=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy $$
La integración es redundante y al pasar a coordenadas cilíndricas $(r,\phi)$ podemos fácilmente factorizar el $\int d\phi$ parte. Hagamos esto con el método Faddeev-Popov.
Nuestra integral es invariante en cuanto a la rotación y la única contribución real proviene del movimiento en la dirección $r \to \infty$ . Visualizo nuestra transformación Gauge como una rotación alrededor del origen y tengo la sensación de que las órbitas Gauge son círculos concéntricos. Como queremos utilizar sólo órbitas no equivalentes, fijamos el $y$ variable. Para ello, utilice el valor $y_{\phi} = x\sin\phi+y\cos\phi$
Para nuestra integral de unidad tenemos $$ 1=\int d\phi\delta(x\sin\phi+y\cos\phi)|\frac{\partial(x\sin\phi+y\cos\phi)}{\partial \phi}| $$ Dado que tenemos una integral invariante de la rotación, elijamos $\phi=0$ esto da
$$ I=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\delta(y) |x| dx dy d \phi $$ $$ I=\int_0^{\infty} e^{-x^2} x dx \times \int_0^{2\pi}d\phi = \pi $$
Lo que hemos hecho arriba es simplemente girar, de manera que la integral se toma a lo largo del eje real positivo $y_{\phi}=0$ . Esto parece una forma complicada de hacer el cambio de variables o de introducir restricciones.
Si lo anterior es correcto, cuáles son las órbitas gauge en el caso general. Según el propio Faddeev, su intuición era puramente geométrica y el caso no abeliano produce líneas que interseccionan las órbitas gauge en diferentes ángulos.
Volviendo a mi ejemplo, en lugar de círculos $F[\mathscr{A}_{\mu}]$ define un colector y la condición Gauge $\partial_{\mu}\mathscr{A}^{\mu}$ da un corte a través de este colector equivalente a la intersección $y_{\phi}=0$ .
Le agradecería su revisión crítica de mi pregunta.
