Sé que hay ejemplos de funciones que son dos veces diferenciables, pero las parciales mixtas $f_{xy}\neq f_{yx}$ en el origen $(0,0)$ .
¿Hay ejemplos de funciones en las que los parciales mixtos existen, pero son iguales en ninguna parte ? Sé que una condición necesaria es que los parciales mixtos sean discontinuos. Mi pregunta se puede plantear formalmente en tres partes:
Para ambos casos, supongamos que existen las segundas derivadas parciales.
$1)$ dejar $f\in C^1(\mathbb{R}^2)$ . ¿Existen subconjuntos $E \subset\mathbb{R}^2$ donde $\mu(E)> 0$ donde $f_{xy}\neq f_{yx}$ (donde $\mu(E)$ denota la medida de Lebesgue de $E$ ). Obsérvese que el hecho de haber mezclado los parciales $f_{xy}\neq f_{yx}$ en el origen responde afirmativamente a esta pregunta para $\mu(E)=0$ ya que si $E=\{(0,0)\}$ entonces $\mu(E)=0$ Y conocemos muchos ejemplos en los que esto ocurre.
$2)$ dejar $f\in C^1(\mathbb{R}^2)$ . ¿Es posible que $f_{xy}$ sea continua en un conjunto $\mu(E)\geq 0, $ y $f_{xy}\neq f_{yx}$ ¿en todas partes o al menos en casi todas?
$3)$ ¿las respuestas a estas preguntas serían lo suficientemente interesantes como para publicarlas como contraejemplos o teoremas? No he podido encontrar información sobre estos dos casos, y mucho menos generalizaciones a funciones con $f\in C^1(\mathbb{R}^n)$ Me hace pensar que podrían ser preguntas de investigación interesantes.
