Supongamos que $f$ es preservador de la convergencia, entonces demuestre que para alguna vecindad abierta de $0$ , $f$ es antisimétrico con respecto al $y$ eje.

Question

Supongamos que $f: \mathbb R\to \mathbb R$ es una función (puede no ser continua) tal que para cualquier serie convergente $\Sigma^{\infty}_{n=1}a_n$ , $f(\Sigma^{\infty}_{n=1})$ también es una serie convergente. Demuestre que existe alguna bola abierta de $0$ , tal que para cualquier $x$ en este balón abierto, $f(-x)=-f(x)$ .

Si $f$ es lineal, entonces claramente, para cualquier serie convergente, $\Sigma^{\infty}_{n=1}a_n$ la serie $\Sigma^{\infty}_{n=1}f(a_n)=f(\Sigma^{\infty}_{n=1}a_n)$ seguramente converge. Y por supuesto, la función es antisimétrica en toda la recta real.

Demostremos la afirmación suponiendo lo contrario, es decir: Supongamos que para cada bola abierta $O$ Hay algunos $x\in O$ tal que $f(-x)\neq -f(x)$ . Entonces demostremos que existe una serie convergente $\Sigma^{\infty}_{n=1}a_n$ tal que $\Sigma^{\infty}_{n=1}f(a_n)$ diverge. Es natural que podamos elegir cualquier secuencia de bolas abiertas centradas en $0$ , de manera que el intervalo se hace cada vez más pequeño a medida que $n$ llega al infinito. Y para cada bola abierta, elige un número $x$ tal que $f(-x)=-f(x)$ como el valor de la secuencia en $n$ . Dicha secuencia converge a $0$ por lo que es posible que sumando todos los términos de la secuencia se obtenga un valor finito. Sin embargo, no veo si esto va a ayudar de alguna manera.

Answer 1

Supongamos que $f$ sí que preserva la convergencia.

En primer lugar, está claro que $f(x)\to0$ cuando $x\to0$ ya que si $x_n\to0$ con $|f(x_n)|>\varepsilon>0$ entonces alguna subsecuencia de $(x_n)$ será absolutamente sumable, pero ninguna subsecuencia de $(f(x_n))$ puede ser sumable.

Así que ahora suponga $x_n\to0$ con $f(-x_n)\ne-f(x_n)$ .

Tenga en cuenta que $\sum_n t_n$ converge si $t_n\to0$ y $t_{2k-1}=-t_{2k}$ para todos $k$ . Construya una serie de este tipo en la que cada término sea $\pm x_n$ , digamos que $t_{2k}=\pm x_{n_k}$ , donde $(n_k)$ es no decreciente y $n_k\to\infty$ .

Escoge los signos para que $f(t_{2k-1})+f(t_{2k})$ (que es distinto de cero por suposición y construcción) siempre tiene el mismo signo, y repetir estos pares si es necesario el tiempo suficiente para asegurar que $\sum_n f(t_n)=\pm\infty$ .