A menudo, en matemáticas, desde el jardín de infancia y antes, las matemáticas se han definido por el hecho de que sólo hay una respuesta para los problemas. Por ejemplo: $1+1=2$ y $\frac{d}{dx}x^2=2x$ . Lo que estoy mostrando con estos dos ejemplos son dos preguntas que son de áreas completamente diferentes de las matemáticas. Sin embargo, ambas tienen una sola solución. Los problemas con múltiples respuestas no significan necesariamente que sean subjetivos, como por ejemplo $|x|=2,$ que tiene dos soluciones. Mi pregunta es: ¿hay algún problema de este tipo que dependa totalmente de la perspectiva? Si todos los problemas matemáticos subjetivos siguen un determinado patrón, por favor, dígame cuál es ese patrón. La verdad es que no tengo ni idea de ningún ejemplo de esto y me interesaría mucho ver alguno. Muchas gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Muchas de las respuestas publicadas aquí cubren mucho de lo que yo diría sobre la subjetividad en las matemáticas. En su mayor parte, la subjetividad de las matemáticas surge de la aceptación de ciertas colecciones de axiomas. Uno de ellos, posiblemente controvertido, es el axioma de elección. Hay varias "paradojas" asociadas a él, como la paradoja de Banach-Tarski. Aceptarlo o no como una paradoja depende de lo extraña que sea la afirmación, pero no es una paradoja en el sentido matemático. Una vez que se aceptan los axiomas, las deducciones que siguen no son subjetivas.
Hay otra veta de escepticismo en las matemáticas que proviene del punto de la computabilidad. Por ejemplo, en matemáticas, a menudo hablamos de números reales. Podemos producir formalismos lógicos para afirmar la existencia del conjunto de los números reales, pero una pregunta válida es si tal sistema existe en el mundo real. Un ordenador sólo puede calcular en números racionales (y entonces sólo un pequeño subconjunto de números racionales puede ser representado por un ordenador), y las mediciones realizadas en el mundo físico sólo pueden expresarse como números racionales. Por lo tanto, aunque hablemos de representar los números reales como límites de los números racionales, no se puede medir dicho límite. Esto nos lleva a otros sistemas numéricos como el $p$ -adica de los números racionales.
Un ejemplo menos técnico son las factorizaciones primarias. Por lo que sabemos, sólo hay un número finito de partículas en el universo, lo que significa que debe haber números que nunca podremos expresar con cualquier ordenador que podamos construir. Si no hay manera de expresar estos números, entonces una pregunta válida es si tiene sentido trabajar con estos números. Ciertamente, la teoría de los números nos dice que formalmente cada número entero tiene una factorización prima, pero consideremos el número $$N=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}}}}}}}+1.$$ Teóricamente, éste tiene una factorización prima, pero este número es tan grande, que ningún ordenador puede calcular esta factorización prima. (Incluso si este puede ser factorizado, debe haber algún límite superior en los números que pueden ser por la finitud del universo). Se podría decir que la afirmación de que este número tiene una factorización prima es subjetiva, ya que no se ha podido producir ninguna (pruebas formales aparte).
En cuanto a mí, trabajo felizmente con los números reales cada día que hago cálculo, y disfruto mucho con el trabajo de teoría de números de Hardy. Mi sueldo depende de mi capacidad de análisis. Sin embargo, mientras trabajo debo aceptar el axioma de elección, los números reales y las factorizaciones primos.
Erdos (bueno, en realidad Alfréd Rényi) dijo que un matemático es una máquina de convertir café en teoremas. Si eso es literalmente cierto, entonces las matemáticas son objetivas.
Erdos también se refería al Libro, en el que Dios guardaba todas las pruebas más elegantes de cada teorema. Creo que la capacidad de percibir la elegancia es algo subjetivo. El hecho de que un problema tenga más de una solución no hace que las matemáticas sean subjetivas. Pero el hecho de que las dos pruebas puedan ser comparadas entre sí y se pueda argumentar sobre cuál es la mejor, sí hace que las matemáticas sean subjetivas.
Por último, alguien dijo que las matemáticas son lo que hacen los matemáticos. Tampoco creo que eso sea literalmente cierto. Difumina la distinción entre El Libro y el acto de crear una entrada para El Libro.
Realmente quiero creer que ninguna máquina puede crear teoremas elegantes tan bien como un matemático y una cafetera, o una taza de té bien caliente. El acto de crear o descubrir una demostración puede ser un acto subjetivo o no. El acto de decidir si esa prueba pertenece al Libro es un acto subjetivo.
Esta pregunta está al borde de ser demasiado blanda para aprender de ella. Algunas personas son platonistas y leerán esta pregunta de forma diferente. Yo diría que sí, que las matemáticas deben considerarse totalmente subjetivas.
Imagínese que se encuentra con un vagabundo que recita en voz alta Alicia en el País de las Maravillas en el mercado durante todo el día. Puede que esté personalmente convencido de que $50^2$ es igual a $5225$ y no $2500$ u otro número. Ahora bien, si preguntas a la mayoría de los estudiantes de matemáticas, dirán $50^2=5225$ se equivoca. Todos comparten esta opinión, pero lo bonito es sólo necesitamos una persona con otra opinión para calificar algo como subjetivo . Y la mera opinión de la mayoría de que este hombre pueda estar "loco" (es decir, que no actúe de acuerdo con nuestras normas y expectativas), o que no cambie de opinión al mostrarle una "prueba" o "demostración", no le hace menos agente con una opinión subjetiva. Su opinión desviada hace que la cuestión sea subjetiva, por definición. Ahora podemos preguntar a cualquier persona de StackExchange y a cualquier medallista de campo qué $50^2$ se reduce a, o $\frac{d}{dx}x^2$ pero sólo encontraremos opiniones que (probablemente) coincidan entre sí. Opiniones de gente que se tranquiliza, y nada más que eso.
Sí, puede:
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Consideremos que los polinomios de grado 4 o inferior se dicen resolubles (o resolubles "en radicales" o lo que sea) mientras que los de orden superior se dicen insolubles. Pero esto es bastante subjetivo y arbitrario. La definición de $\sqrt{2}$ es literalmente "el número real positivo $x$ que satisface $x^2 = 2$ ". Lo que hace que resolver $x^2 = 2$ alguna diferencia con respecto a la resolución de $x^5 + x + 10 = 0$ ? Realmente no veo una distinción significativa: ambos son números reales y ambos son irracionales. Para escribir cualquiera de ellos como decimales, hay que utilizar los mismos tipos de algoritmos de búsqueda de raíces para ambos. Para mí, la distinción de que uno de ellos puede escribirse en términos de radicales y el otro no parece bastante arbitraria y subjetiva.
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Basta con mirar la definición de, por ejemplo, " solución de forma cerrada ". Es completamente subjetivo.
etc.
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