A menudo, en matemáticas, desde el jardín de infancia y antes, las matemáticas se han definido por el hecho de que sólo hay una respuesta para los problemas. Por ejemplo: $1+1=2$ y $\frac{d}{dx}x^2=2x$ . Lo que estoy mostrando con estos dos ejemplos son dos preguntas que son de áreas completamente diferentes de las matemáticas. Sin embargo, ambas tienen una sola solución. Los problemas con múltiples respuestas no significan necesariamente que sean subjetivos, como por ejemplo $|x|=2,$ que tiene dos soluciones. Mi pregunta es: ¿hay algún problema de este tipo que dependa totalmente de la perspectiva? Si todos los problemas matemáticos subjetivos siguen un determinado patrón, por favor, dígame cuál es ese patrón. La verdad es que no tengo ni idea de ningún ejemplo de esto y me interesaría mucho ver alguno. Muchas gracias.
Respuestas
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Algunas personas no están de acuerdo con el uso del axioma de elección en las pruebas*. https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
https://mathoverflow.net/questions/22927/why-worry-about-the-axiom-of-choice
Existe el constructivismo (* por ejemplo este ) que no acepta las pruebas por contradicción como prueba de existencia https://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(matemáticas)
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de lógica matemática que establecen las limitaciones inherentes a todos los sistemas axiomáticos, salvo los más triviales, capaces de hacer aritmética. Los teoremas, demostrados por Kurt Gödel en 1931, son importantes tanto en la lógica matemática como en la filosofía de las matemáticas. Los dos resultados se interpretan ampliamente, aunque no de forma universal, como una demostración de que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y coherente de axiomas para todas las matemáticas es imposible, lo que da una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert.
El primer teorema de incompletitud afirma que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan ser enumerados por un "procedimiento eficaz" (por ejemplo, un programa de ordenador, pero podría ser cualquier tipo de algoritmo) es capaz de demostrar todas las verdades sobre las relaciones de los números naturales (aritmética). Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no sean demostrables dentro del sistema. El segundo teorema de incompletitud, una extensión del primero, muestra que tal sistema no puede demostrar su propia consistencia . https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems
Las consecuencias, dentro de lo que significa la subjetividad se deja al lector ;)
¿Existen problemas cuya solución es subjetiva?
Depende de hasta dónde esté dispuesto a estirar la palabra "subjetivo". Una idea puede tener dos significados esencialmente diferentes para dos matemáticos distintos. Para un matemático, el teorema fundamental del álgebra puede significar que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Para otro, puede significar que todo complejo $n\times n$ tiene un valor propio complejo. Ambos significados son equivalentes, pero no son "lo mismo", en un sentido muy restrictivo, por lo que se podría transmitir como subjetivo.
¿De qué otra manera? La verdad es que no. Sin embargo, creo que hay una pregunta más amplia que responder aquí.
¿Las matemáticas son subjetivas?
No... pero sí.
En lo que respecta a "los hechos", como tú los llamas, una vez que estamos de acuerdo con las definiciones y los axiomas, las cosas están prácticamente grabadas en piedra. Los teoremas son correctos o incorrectos (o indemostrables), y no hay ningún margen de maniobra.
Aquí hay algo que la mayoría de los profanos, e incluso un buen puñado de matemáticos, no entienden: las matemáticas no son sólo "los hechos". El mito de que las matemáticas consisten únicamente en los teoremas es tan erróneo como peligroso; ahuyenta a muchas personas que sólo conocen las matemáticas por el material anodino que les dieron en el instituto y desanima a los matemáticos que deciden que su valor se basa únicamente en lo que Thurston llamó "teoremas-créditos".
Mientras que en el tema de los teoremas-créditos, creo que muchas, si no la mayoría, de las preguntas de la forma "¿Es la matemática [blah-dee-dah-dee-dah]?" pueden ser resueltas leyendo Sobre la prueba y el progreso en matemáticas . De hecho, si no lo ha leído, probablemente debería hacerlo.
Las matemáticas, o al menos las que yo hago, consisten en pensar y compartir ideas con otros matemáticos. Aquí es donde entra la subjetividad. Las preguntas típicas de un matemático, en medio de los profundos pensamientos matemáticos, son
- "¿Se ve presentable?"
- "¿Está clara esta notación?"
- "¿Merece la pena seguir estudiando esto?"
- "¿De verdad que las matemáticas necesitan otro uso para la palabra 'normal'?"
Estas son las preguntas más subjetivas que se pueden hacer.
Las matemáticas no son subjetivas porque sean percibidas de forma diferente por distintos matemáticos. Eso es un mal uso de la palabra subjetivo.
Creo que las matemáticas son lo más objetivo que tenemos. Si eso es cierto, entonces si la palabra objetivo significa algo, podemos decir simplemente que las matemáticas son objetivas, sin calificarlas.
Quiero plantear dos cuestiones relacionadas en el ámbito de las matemáticas. La primera es por qué las matemáticas se relacionan tan a menudo directamente con propiedades fundamentales del mundo natural. Esto ocurre tan a menudo que resulta espeluznante: alguien se pone a investigar un oscuro problema matemático y la respuesta resulta predecir la curva de las espirales de una molécula de NDA o algo así.
La segunda es si toda la realidad se construye socialmente. Yo digo que no, que las matemáticas y gran parte de la ciencia son total o mayormente objetivas. La utilidad, la aplicación, el interés, nuestra disposición a profundizar en un determinado trabajo, son cosas mucho más construidas socialmente. (El hecho de que los resultados se perciban de forma diferente por razones significativamente construidas socialmente no los hace inherentemente subjetivos o construidos socialmente.
Perdón por no leer/tener en cuenta todos los demás comentarios, tengo que volver al trabajo...
Yo diría que el número de soluciones no influye en la subjetividad de las matemáticas. Más bien, las matemáticas son un arte intrínsecamente subjetivo en el sentido de que son percibidas de forma diferente por distintos matemáticos. Sin embargo, lo que creo que es la verdadera belleza de las mismas, es que todos (la mayoría de nosotros) operamos bajo el mismo vasto marco, donde incluso con diferentes perspectivas, todos nuestros resultados son consistentes entre sí.
En comparación con otros campos como la psicología o la economía, los resultados obtenidos en esos campos pueden ser discutidos, muchos economistas mantienen puntos de vista diferentes y los resultados obtenidos no son consistentes en su mayor parte. Esto es algo que no ocurre (o si ocurre, ocurre con poca frecuencia) en el campo de las matemáticas.
Por ejemplo, usted dijo que $1 + 1 = 2$ tiene una sola solución, sin embargo en cierto campo de las matemáticas se ve a menudo $1 + 1 \equiv 0 \pmod{2}$ . Sin embargo, esto no significa que no sea coherente con $1+1 =2$ Las matemáticas sólo funcionan bajo unos fundamentos increíblemente precisos.
Lo que quiero decir es que creo que tienes que reconsiderar tu definición de subjetividad en las matemáticas.
Una cuestión subjetiva importante es cuándo exactamente un argumento es suficientemente riguroso. Me gusta mucho recordar que el rigor es un continuo, no una propiedad binaria.
Tomemos el teorema de Pitágoras. Es esta prueba por reordenamiento una prueba rigurosa? Yo diría que sí, en el sentido de que consideraría muy pedante que alguien no la encontrara convincente. A efectos prácticos, una vez que has visto esa imagen, sabes que el teorema es cierto.
Pero tal vez no puedas disipar la duda de que si eliges un triángulo rectángulo con una forma muy extraña, se revelaría una suposición implícita en ese diagrama, por lo que no podrías hacer el reordenamiento y no funcionaría. O tal vez sólo encuentras la precisión estéticamente atractiva. Entonces, tal vez la prueba euclidiana te convenga, o alguna formalización más moderna de la misma.
O, tal vez, el universo físico le parece tan complicado y ambiguo que prefiere no pensar en él en absoluto, y no estará satisfecho a menos que haya definido triángulos como subconjuntos del conjunto de todos los pares de números reales, y demostró el teorema formalmente en ese entorno, escapando así del empirismo y la realidad por completo y reduciendo el teorema a una afirmación sobre los números reales (que se definen de alguna otra manera, etc). Por supuesto, una desventaja de este enfoque es que resulta difícil justificar que su argumento le proporciona algún conocimiento sobre mundo real triángulos, ya que deliberadamente cortaste cualquier conexión con ellos. Pero si esto es realmente molesto o no es subjetivo.
Todo depende de por qué estudias matemáticas y qué quieres hacer con tus teoremas, así como de tu sentido de la estética.
