A menudo, en matemáticas, desde el jardín de infancia y antes, las matemáticas se han definido por el hecho de que sólo hay una respuesta para los problemas. Por ejemplo: $1+1=2$ y $\frac{d}{dx}x^2=2x$ . Lo que estoy mostrando con estos dos ejemplos son dos preguntas que son de áreas completamente diferentes de las matemáticas. Sin embargo, ambas tienen una sola solución. Los problemas con múltiples respuestas no significan necesariamente que sean subjetivos, como por ejemplo $|x|=2,$ que tiene dos soluciones. Mi pregunta es: ¿hay algún problema de este tipo que dependa totalmente de la perspectiva? Si todos los problemas matemáticos subjetivos siguen un determinado patrón, por favor, dígame cuál es ese patrón. La verdad es que no tengo ni idea de ningún ejemplo de esto y me interesaría mucho ver alguno. Muchas gracias.
Respuestas
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En las matemáticas hay mucho espacio para la opinión subjetiva. Normalmente no se trata de cuestiones de la forma ¿Es esto cierto? ya que tenemos un buen consenso sobre cómo reconocer una prueba aceptable y qué supuestos para dicha prueba hay que indicar explícitamente.
En cuanto pasamos a ¿Es esto útil? y ¿Esto es interesante? o incluso ¿Es probable que esto funcione? la subjetividad nos golpea de lleno. Incluso en matemáticas puras, es fácil elegir un conjunto de axiomas y derivar consecuencias de ellos, pero si quieres que alguien dedique tiempo a leer tu trabajo, tienes que abordar las cuestiones subjetivas y tener una explicación de por qué lo que estás haciendo es o bien útil ou interesante, o preferiblemente ambos.
En las matemáticas aplicadas, estas preguntas van acompañadas de ¿Es ésta la mejor manera de modelar tal o cual problema del mundo real? -- En este caso, la palabra "mejor" se reduce a la utilidad (¿responde el modelo a las preguntas que necesitamos responder?) y al interés (¿nos da el modelo una visión de la situación que no tendríamos sin él?).
Las preguntas subjetivas son importantes en la investigación, pero también pueden surgir a un nivel más elemental. El profesor de secundaria que decida dedicar varias lecciones a presentar el método de Cardano para resolver la ecuación genérica de tercer grado tendrá sin duda que responder a las preguntas de sus alumnos de por qué es útil o interesante. Tal vez tenga una respuesta. Tal vez tenga una respuesta con la que los alumnos no estén de acuerdo. En ese caso, él no puede buscar un argumento deductivo que concluya que la fórmula de Cardano es interesante -- tendrá que apelar a las emociones, a la curiosidad, a todas esas suaves consideraciones sensibleras que debemos utilizar para abordar cuestiones subjetivas.
Cada una de las afirmaciones, preguntas y demandas en matemáticas es subjetiva porque siempre se basan en un conjunto de axiomas, que son arbitrarios, y se eligen para observar sus consecuencias.
Sin embargo, una vez que se formula la reclamación en forma de implicación, (como: "si [los axiomas de la geometría euclidiana], entonces [el teorema de Pitágoras]") entonces tienes una verdad objetiva. Se supone que este es el significado cuando cualquier matemático afirma un teorema: entendemos en qué marco axiomático está trabajando y comprendemos que su afirmación depende de esos axiomas.
Dado un determinado sistema de axiomas, tres de los posibles resultados de una afirmación matemática son:
Demostramos que la afirmación es verdadera. [Ej: El teorema de Pitágoras]
Demostramos que la afirmación es falsa. [Ej: "Los enteros bajo multiplicación forman un grupo"]
Demostramos que la afirmación es independiente de nuestro sistema axiomático. [Ej: la hipótesis del continuo].
(véase el comentario de Mario Carneiro para otras posibilidades).
No hay afirmaciones que puedan ser subjetivas si damos por sentado que estamos trabajando en un sistema axiomático. Algunas personas podrían argumentar que la hipótesis del continuo es "subjetiva" bajo ZFC, pero yo prefiero pensar que simplemente no tiene valor de verdad.
Hay algunos puntos más de subjetividad que están relacionados con la elección, a veces subjetiva, del sistema de axiomas, pero ligeramente diferentes: Me refiero a las definiciones de algunos objetos estándar. Por ejemplo, la gente puede tener diferentes "opiniones" sobre si $0\in\mathbb N$ . O si aceptan una respuesta a una pregunta que pide un explícito solución sólo si es elemental (una combinación de polinomios, trigonométrica, esponencial, logaritmo) o si también aceptarían algo que implique el Lambert $W$ o la función de error ...
Y luego hay cosas que son simplemente preferencias personales para diferentes notación (o preerencias culturales - personalmente tengo grandes dificultades para leer algo tan simple como una división larga si está escrita a la "manera americana" que me parece más bien un $\sqrt .$ )
Depende de lo que quieras decir.
Primero: Se da la ecuación $\lvert x \rvert = 2$ como ejemplo de una ecuación/problema con dos soluciones. En cierto sentido se podría decir que el problema sólo tiene una solución, ya que el conjunto de soluciones es $\{-2, 2\}$ .
El sentido de decir que un problema sólo tiene una solución/respuesta es que no se pueden tener dos respuestas que se contradigan. Si, por ejemplo, preguntas si una determinada ecuación tiene solución, entonces la respuesta es sólo sí o no. No puede ser tanto sí como no.
Hay, por supuesto, preguntas que interesan a los matemáticos y que tendrán varias respuestas. Se puede preguntar cuál es la mejor manera de describir matemáticamente algo mediante una ecuación. Aquí la palabra clave es "mejor". Es, hasta cierto punto, subjetivo lo que es mejor.
Así que en general no tendrás respuestas que dependan de algo subjetivo en las matemáticas (puras).
Ahora, se puede llevar la pregunta sobre la subjetividad y las diferentes respuestas a una filosófica. Las matemáticas están (pueden estar) construidas sobre un conjunto de axiomas (digamos de la teoría de conjuntos) y las reglas de la lógica. Algunos argumentarán que las matemáticas son sólo un juego de cómo utilizar las reglas de la lógica dado el conjunto de axiomas. Pero entonces surgen preguntas sobre cómo elegir mejor los axiomas y preguntas sobre qué reglas lógicas debemos permitir exactamente. Estas discusiones son interesantes para algunos matemáticos y algunos dirán que esto es inherente a la naturaleza de las matemáticas. Y en estas discusiones las respuestas tendrán un nivel de subjetividad. Se puede decir mucho más sobre esto, pero cuando fijamos un sistema de axiomas y un conjunto de reglas, entonces evitamos estas discusiones (puede que esté simplificando demasiado las cosas).
Otra forma en que puede surgir la subjetividad en las matemáticas es cuando las discusiones giran en torno a qué áreas merecen más atención. Si una institución contrata a un nuevo profesorado, el profesorado existente debatirá sobre la orientación del departamento. En este caso, se pueden esgrimir argumentos a favor de las diferentes áreas y las discusiones pueden volverse políticas.
Nota, algunos podrían decir que $1+1 = 2$ es subjetivo porque tenemos $1+1 =0$ cuando hacemos aritmética modular (mod $2$ ). Pero hay que entender que los elementos $1$ son completamente diferentes en las dos situaciones. Estamos hablando de dos conjuntos diferentes de "números" y por lo tanto no hay ninguna subjetividad aquí.
Hay algunas nociones que no tienen una definición comúnmente aceptada o, en realidad, muchas definiciones competitivas que no coinciden. Algunos ejemplos son:
Tal vez, algún día, los matemáticos se pongan de acuerdo en cada uno de estos casos sobre cuál es la definición correcta, pero por supuesto esto es algo subjetivo (lo que hace que una definición correcto ?). En cualquier caso, las matemáticas realizadas con cada una de estas nociones son objetivamente verdaderas.
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