Un subespacio $Y$ de un espacio topológico $X$ es desconectado exactamente cuando se puede escribir como una unión $Y=A\cup B$ con $A$ y $B$ subconjuntos abiertos no vacíos de $Y$ (en la topología del subespacio). En cuanto a la topología de $X$ tenemos $A=U\cap Y$ y $B=V\cap Y$ para conjuntos abiertos $U$ y $V$ sur $X$ . Esto se traduce en:
$(1)$ $Y$ está desconectado si $Y\subset U\cup V$ para algunos conjuntos abiertos $U$ y $V$ sur $X$ , ambos se reúnen $Y$ y con $U\cap Y$ y $V\cap Y$ desunidos.
Como se indica en Willard, ejercicio 26D, lo siguiente es no es cierto en general:
$(2)$ $Y$ está desconectado si $Y\subset U\cup V$ para algunos conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ sur $X$ , ambos se reúnen $Y$ .
No podemos tomar $U$ y $V$ disjuntos en la condición $(1)$ en general. Véase la respuesta a esta pregunta pour un $T_0$ ejemplo. Un simple $T_1$ ejemplo es el línea con dos orígenes $X=\mathbb{R}\cup\{0^*\}$ . El subespacio $Y=\{0,0^*\}$ está desconectado, siendo la única desconexión posible $\{0\}\cup\{0^*\}$ pero dos nbhds respectivos cualesquiera de $0$ y $0^*$ sur $X$ no son disjuntos.
Sin embargo, si $X$ es un espacio métrico, podemos exigir $U$ y $V$ para ser disjuntos, como se muestra aquí .
Pregunta :
¿Hay algún ejemplo de un espacio de Hausdorff $X$ con un subespacio desconectado $Y$ donde la desconexión no puede ser presenciada por los rastros en $Y$ de conjuntos abiertos disjuntos en el espacio ambiental?
Como ya se ha dicho, cualquier contraejemplo no puede ser un espacio metrizable. También $Y$ no puede ser finito, ya que dos puntos cualesquiera pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos en un $T_2$ espacio. No se me ocurre ningún ejemplo.
