Demostrando que $40^{\circ}$ no es construible

Question

Demuestra que $40^{\circ}$ no es construible.

Intento

Observamos que $\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}$ y que también es igual a $4\cos^340^{\circ}-3\cos40^{\circ}$ que se obtiene utilizando la fórmula del triple ángulo del coseno en $\cos(3\cdot 40^{\circ})$ .

Equiparando esto obtengo que $0=8\cos^3 40^{\circ}-6\cos40^{\circ}+1$ .

Esto significa que $\alpha=\cos40^{\circ}$ es una raíz del polinomio $f(x)=8x^3-6x+1$ .

Si puedo demostrar que este polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ Entonces he terminado, pero estoy teniendo un poco de dificultad para demostrar que es irreductible.

El criterio de Eisenstein no es aplicable aquí. He probado a jugar con el modular $p$ prueba con valores $p=3, 5, 7$ pero no ha servido de nada. También intenté mostrar que $f(x)$ debe ser un producto de un polinomio lineal y otro cuadrático, pero no he podido llegar a una contradicción tras igualar los coeficientes. Alguna pista para demostrar que $f(x)$ es irreducible se agradecería. Gracias.

Answer 1

Responder a esto para sacarlo de la cola de espera

Por el teorema de la raíz racional, las únicas raíces racionales posibles de $f(x)$ son $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$ . Evaluación de $f(x)$ en cada una de estas posibles raíces no encuentra ningún cero, por lo que no hay ningún factor lineal con coeficientes racionales. Por tanto, el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .