Confusión sobre el conjunto de cocientes

Question

Suponiendo que tengo un conjunto $A$ y la relación binaria $R$ tal que

$A = \{1,2,3,4,5\}$ $R = \{(1,1), (1,3), (1,4), (2,2), (2,5), (3,1), (3,3), (3,4), (4,1), (4,3), (4,4), (5,2), (5,5)\}$

Quiero encontrar el conjunto de cocientes $A/R$ Pero no estoy totalmente seguro de haber entendido la explicación de mi profesor sobre cómo hacerlo.

Por lo que he deducido, el conjunto cociente es el conjunto de todas las clases de equivalencia de $A$ bajo la relación $R$ . Entonces, si $R$ es una relación de equivalencia, la clase de equivalencia de algún elemento $a$ perteneciente a $A$ es el conjunto de todos los elementos relacionados con $a$ . En ese caso, ¿el conjunto cociente de $A$ y $R$ sea

$$A/R = \{\{1,3,4\}, \{2,5\}\}$$

O tendría que incluir los pares binarios en el conjunto de cocientes, es decir $A/R = \{\{(1,1), (1,3) ... \}\}$ ya que los elementos de $R$ ¿son pares binarios?

Answer 1

Esto es más fácil de digerir con un diagrama:

Aquí $x$ señala $y$ si $(x,y) \in R$ . En este diagrama también verás que hay dos "grafos dirigidos" disjuntos, por así decirlo. Separándolos, tenemos

Sin embargo, ¿qué significado tienen? Esencialmente, todos los elementos que están relacionados entre sí forman su propia clase de equivalencia. En otras palabras, al generar los gráficos de esta manera se obtiene un conjunto de gráficos (posiblemente disjuntos), cuyos nodos representan cada uno su propia clase de equivalencia.

Esto se puede ver porque una clase de equivalencia será todos los elementos que están relacionados entre sí. Puedes ver que puedes "caminar" desde cada uno de $1,3,4$ a cualquiera de los otros miembros de ese grupo -- de la misma manera, se puede caminar desde $2$ a $5$ y viceversa. Esto se debe a que todos están relacionados y, por lo tanto, apuntan el uno al otro. Sin embargo, no se puede pasar de cualquiera de $1,3,4$ a $2,5$ o del último conjunto al primero. Por eso son disjuntos.

Recordemos que un conjunto cociente es esencialmente un "conjunto de conjuntos": más exactamente, es el conjunto de estas clases de equivalencia, cada una de las cuales es su propio conjunto. Así que tendrías, para la relación anterior

$$A/R = \Big\{ \{1,3,4\} \; , \; \{2,5\} \Big\}$$

En conjunto, esperamos que esto aclare el aspecto de un conjunto de cocientes, y una forma fácil de visualizarlos.

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...de acuerdo, esta pregunta es bastante antigua, así que imagino que no necesitas ayuda ahora. Pero espero que esto ayude a alguien en el futuro y, si no es así, saque esta pregunta de la cola de espera.